Exercícios Resolvidos de Introdução às Funções de Várias Variáveis, Curvas de Nível

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Enunciado

Encontre o domínio da função

y - x 2 l n   x 2 + y - 4  

Passo 1

Temos uma questão que pede pra gente descobrir onde a função existe (ou seja, qual é o seu domínio). Mas, convenhamos... é muito mais fácil descobrir onde ela não existe!!

Nossa função é uma fração, então a primeira coisa que devemos bater o olho é no denominador: ele tem que ser diferente de 0.

Vamos analisar como é o gráfico da função logaritmo:

Olha só! Quando o que está dentro do l n ⁡ ( ) vale 1 , o valor de l n é 0 (é o ponto onde ela corta o eixo x). Portanto, como o valor do denominador da função do enunciado não pode valer 0 ,

l n   ( x 2 + y - 4 ) ≠ 0  

E isso só pode acontecer quando:

x 2 + y - 4 ≠ 1

Passo 2

Show já achamos um ponto onde a função não existe, mas ainda olhando para o gráfico da função logaritmo, observe que ela não está definida em l n   0   ou números menores que 0. Ou seja, o argumento da função logaritmo só podem ser números maiores do que 0 :

x 2 + y - 4 > 0

Passo 3

Pronto, agora que todos os problemas do denominador foram resolvidos direitinho, podemos olhar pra parte de cima da fração.

y - x 2 l n   x 2 + y - 4  

Veja, temos aqui uma raiz quadrada

y - x 2

E vale lembrar que seu interior não poder valer menos do que 0 (não pode ser negativo).

Assim, precisamos que:

y - x 2 ≥ 0

Passo 4

Agora é só juntar tudo!

Do passo 1 temos que

x 2 + y - 4 ≠ 1

Do passo 2 temos que

x 2 + y - 4 > 0

E, do passo 3, temos que

y - x 2 ≥ 0

Assim, nosso domínio é definido por:

D = x , y   ϵ   R   |   x 2 + y - 4 ≠ 1 ,   x 2 + y - 4 > 0   ,   y - x 2 ≥ 0  

Se não se sentir à vontade com a notação matemática (como eu... rsrs), é só escrever por extenso mesmo na prova!

Isso aí em cima, lendo em português, diz que o domínio da função é o conjunto dos pontos ( x , y ) , sendo x e y pertencendo aos reais, tais que x 2 + y - 4 ≠ 1 ,   x 2 + y - 4 > 0 e y - x 2 ≥ 0

Resposta

D = x , y   ϵ   R   |   x 2 + y - 4 ≠ 1 ,   x 2 + y - 4 > 0   ,   y - x 2 ≥ 0