Exercícios Resolvidos de Introdução às Funções de Várias Variáveis, Curvas de Nível

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Enunciado

Determine a imagem de f nos seguintes casos:

a) f x , y = e x y + 2

b) f x , y = 3 - ln ⁡ x 2 + y

c) f x , y = 5 x 4 + 4 y 3 + 3 y 2 + 2 x + 1

d) f x , y = e y - x - x - y

Passo 1

É bom adquirir o reflexo de achar o domínio da função antes de partir pra imagem. Então vamos fazer isso sempre, beleza?

a)   f x , y = e x y + 2

Primeiro podemos notar que não há nenhuma restrição na função, portanto seu domínio é todo o R 2 . Mas para acharmos a imagem a gente tem que se ligar em uma coisa

e q u a l q u e r   c o i s a > 0

Como ele sempre vai ser maior que 0 , podemos afirmar que

e x y > 0

E isso implica que:

⇒ e x y + 2 > 2

Porque 2 + ( a l g u m a   c o i s a   p o s i t i v a ) vai ser sempre maior que 2

Portanto, a imagem de f é o conjunto 2 , + ∞ . Tranquilo né? Vamos pra próxima!

Passo 2

b)   f x , y = 3 - ln ⁡ x 2 + y

Nessa função tem uma restrição, por causa do logaritmo:

Lembrando que na função logaritmo, o que fica dentro do l n tem que sempre ser maior que zero

x 2 + y > 0

Então:

y > - x 2

Mas bom, isso não vai afetar a nossa imagem. Isso porque o logaritmo, ao contrário da exponencial, pode assumir valores negativos e positivos, todos os valores do R ! Ou seja,

ln ⁡ q u a l q u e r   c o i s a = q u a l q u e r   c o i s a

Assim,

ln ⁡ x 2 + y ∈ R ⇒ 3 - ln ⁡ x 2 + y ∈ R

Ou seja, a imagem de f é todo o R !

Passo 3

c)   f x , y = 5 x 4 + 4 y 3 + 3 y 2 + 2 x + 1

Mano, essa não tem muito mistério. É só uma função polinomial meio aleatória e sem nenhuma restrição (seu domínio é todo o R 2 ).

Nesse caso, não tem muito como justificar, mas intuitivamente podemos dizer que essa função pode assumir qualquer valor, e que, portanto, sua imagem é todo o R . 😊

Passo 4

d) f x , y = e y - x - x - y

Opa, essa aqui já é mais interessante!

A única restrição nessa função é a raiz quadrada, já que quando temos uma raiz par o que está dentro da raiz não pode ser menor que zero então temos:

x - y ≥ 0

⇒ x ≥ y

Então o domínio da função é o conjunto dos x , y do R 2 que respeitem essa condição.

Passo 5

Mas calma, ainda vamos achar a imagem dessa letra d) repara aqui, no passo anterior chegamos à conclusão que:

x ≥ y

Então, passando o x para o outro lado, podemos afirmar que

0 ≥ y - x

Que fica melhor para ler, se escrevermos assim:

y - x ≤ 0

Uma vez que a função exponencial é sempre crescente, podemos aplicar essa função dos dois lados da inequação:

e y - x ≤ e 0

O que nos dará:

e y - x ≤ 1

Por isso que é importante saber o domínio da função!! O valor máximo que esse termo e y - x pode assumir é 1, por causa da restrição da raiz quadrada.

Raiz quadrada, que é, aliás, positiva:

x - y ≥ 0

Então temos

e y - x ⏟ n o   m á x i m o   1 - x - y ⏟ s e m p r e   p o s i t i v a ≤ 1

Porque como e y - x   já é menor que 1  

E

( a l g u m a   c o i s a   m e n o r   q u e   1 ) - ( a l g u m a   c o i s a   m a i o r   o u   i g u a l   q u e   z e r o )

vai ser sempre menor ou igual a 1 já que você está diminuindo um valor maior que zero o resultado vai sempre ser menor que isso!

Assim, a imagem de f é o conjunto - ∞ , 1 .

Resposta

a) 2 , + ∞

b) R

c) R

d) - ∞ , 1