Exercícios Resolvidos de Introdução às Funções de Várias Variáveis, Curvas de Nível

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Enunciado

Determine e faça o esboço do domínio da função:

f x , y , z = ln ⁡ 16 - 4 x 2 - 4 y 2 - z 2

Passo 1

A questão é de domínio? Então vamos começar procurando pelas restrições! No nosso caso, aparentemente, não temos nenhuma a não ser o fato que o que está dentro da função logaritmo deve sempre ser maior que 0 .

Assim, na função:

f x , y , z = ln ⁡ 16 - 4 x 2 - 4 y 2 - z 2

temos que o argumento

16 - 4 x 2 - 4 y 2 - z 2 > 0

Passo 2

Agora é só trabalhar em cima da expressão encontrada, e ver que curva ela representa:

16 - 4 x 2 - 4 y 2 - z 2 > 0

Passando - 4 x 2 - 4 y 2 - z 2 para o outro lado ficamos com

16 > 4 x 2 + 4 y 2 + z 2

“Hmmm ainda não estou conseguindo visualizar direito o que pode ser isso”, quando isso acontece a gente costuma a dividir os dois lados pelo número que ficou sozinho, ficamos com:

4 x 2 16 + 4 y 2 16 + z 2 16 < 1

E a gente pode cortar os 4 ’s e 16 ' s   nas frações de x e y , ficando com

x 2 4 + y 2 4 + z 2 16 < 1

Passo 3

Percebe que a inequação é muito parecida com a equação de um elipsoide? Não lembra da equação do elipsoide, não tem problema! Olha ela aqui:

x 2 a 2 + y 2 b 2 + z 2 c 2 = 1

E encontramos

x 2 4 + y 2 4 + z 2 16 < 1

Como na equação do elipsoide, os denominadores estão elevados ao quadrado, vamos escrever nossa inequação assim também:

x 2 2 2 + y 2 2 2 + z 2 4 2 < 1

Ou seja, nosso a = 2 , b = 2 e c = 4 ! E o sinal de “menor que” que nos dizer que a função existe apenas para pontos dentro do elipsoide.

Por exemplo, se pegarmos um ponto que esteja fora dele, acharemos um valor maior do que 1 , o que torna a inequação falsa!

Passo 4

Legal, temos o nosso domínio, agora, como esboçá-lo? Para isso podemos anular uma das variáveis e encontrar a curva no plano formado pelas outras duas.

Por exemplo, anulando a variável x , ou seja, fazendo x = 0 , teremos:

0 2 4 + y 2 4 + z 2 16 < 1

y 2 4 + z 2 16 < 1

Que representa uma elipse no plano y z , com seu interior preenchido (pelo sinal de “menor que”)

Passo 5

Agora, fazendo o mesmo para y ,fazendo y = 0 , temos a curva projetada no plano x z :

x 2 4 + 0 2 4 + z 2 16 < 1

x 2 4 + z 2 16 < 1

Perceba que é uma outra elipse, exatamente como a primeira, mas em outro plano!

Passo 6

Finalmente, anulando a variável z , encontramos com z = 0 que

x 2 4 + y 2 4 + 0 2 16 < 1

x 2 4 + y 2 4 < 1

Que é a equação de uma circunferência no plano x y , pois os denominadores de x e y possuem o mesmo valor!

Passo 7

Juntando as curvas com interior preenchido que encontramos, temos como esboçar o elipsoide! Basta desenhar cada umas dessas curvas em seus respectivos plano, e depois completar com as linhas que formariam o sólido. A gente fica com isso aqui:

Tudo que está dentro desse elipsoide é nosso domínio! Muito doido né? :P

Resposta

O domínio é todo o interior do elipsoide x 2 4 + y 2 4 + z 2 16 < 1