Exercícios Resolvidos de Matriz Rotação

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Enunciado

Considere a matriz:

A = 2 / 3 b c 1 / 3 2 / 3 d a 2 / 3 e

Determine e ,   d ,   c ,   b e a para que A represente na base canônica um espelhamento em um plano.

Passo 1

Belezera meus amores, esse tal espelhamento em um plano, é a famosa reflexão ortogonal. E essa transformação, possui algumas características bem interessantes, que a gente pode explorar afim de descobrir nossos valores e ,   d ,   c ,   b e a . Saca só, o primeiro detalhe é que toda matriz reflexão é uma matriz simétrica. Ela ser simétrica quer dizer que tudo que está acima da diagonal principal, é exatamente igual aquilo que está embaixo da diagonal principal. Logo:

b = 1 3 ,     d = 2 3 ,     a = c

2 / 3 b c 1 / 3 2 / 3 d a 2 / 3 e ⇒ 2 / 3 1 / 3 a 1 / 3 2 / 3 2 / 3 a 2 / 3 e

Passo 2

O segundo detalhe malandro aqui, é que a matriz reflexão, sempre tem traço igual a 1 . E o traço, é a soma dos elementos da diagonal principal, por exemplo nosso caso, o traço é:

2 3 + 2 3 + e

E esse traço tem que ser igual a 1 , logo:

2 3 + 2 3 + e = 1

4 3 + e = 1

e = 1 - 4 3

e = - 1 3

Iradoso, então a gente também já descobriu o valor de e :

2 / 3 1 / 3 a 1 / 3 2 / 3 2 / 3 a 2 / 3 e ⇒ 2 / 3 1 / 3 a 1 / 3 2 / 3 2 / 3 a 2 / 3 - 1 / 3

Passo 3

Agora para encontrar o valor de a ou de c (afinal eles são iguais), podemos lembrar que toda matriz reflexão é ortogonal, isto é, as colunas da matriz são ortogonais entre si, fazendo com que o produto interno entre elas seja nulo. Então se por exemplo a gente pegar a primeira e a última coluna da matriz, vamos ter que:

2 3 , 1 3 ,   a . a , 2 3 ,   - 1 3 = 0

Logo:

2 3 a + 2 9 - 1 3 a = 0

1 3 a = - 2 9

a = - 2 3

Portanto, nossa matriz é:

2 / 3 1 / 3 a 1 / 3 2 / 3 2 / 3 a 2 / 3 - 1 / 3 ⇒ 2 / 3 1 / 3 - 2 / 3 1 / 3 2 / 3 2 / 3 - 2 / 3 2 / 3 - 1 / 3

R = 2 / 3 1 / 3 - 2 / 3 1 / 3 2 / 3 2 / 3 - 2 / 3 2 / 3 - 1 / 3

Resposta

R = 2 / 3 1 / 3 - 2 / 3 1 / 3 2 / 3 2 / 3 - 2 / 3 2 / 3 - 1 / 3

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