Exercícios Resolvidos de Matriz Rotação

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Enunciado

Seja ε a base canônica de R 2 e β a base obtida pela rotação de π 4 radianos no sentido horário dos vetores de ε . A matriz de mudança de base de β para ε é:

a   1 2 1 2 - 1 2 1 2

b   - 1 2 1 2 1 2 1 2

c   1 2 1 2 1 2 - 1 2

d   1 2 - 1 2 1 2 1 2

Passo 1

Bom, primeiro vamos achar a base β . Ela é obtida girando-se os vetores da canônica de π 4 radianos no sentido horário. Então é só pegarmos os vetores 1,0 e 0,1 e aplicarmos na matriz rotação.

Lembrando que a matriz rotação no sentido horário tem essa forma:

cos ⁡ θ sen ⁡ θ - sen ⁡ θ cos ⁡ θ

Temos então:

2 2 2 2 - 2 2 2 2 1 0 = 2 2 - 2 2

2 2 2 2 - 2 2 2 2 0 1 = 2 2 2 2

Então encontramos β :

β = 2 2 , - 2 2 , 2 2 , 2 2

Passo 2

Agora para acharmos a matriz mudança de base I ϵ ← β basta escrevermos os vetores de β em função da canônica. Po, mas os vetores de qualquer base em função da canônica são eles mesmos haha. Então a matriz de mudança de base é formada simplesmente pelos vetores de β :

I ϵ ← β = 2 2   2 2 - 2 2 2 2 = 1 2 1 2 - 1 2 1 2

Resposta

Letra ( a )

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Os pontos A ( 2 , - 1 ) e B ( - 1 ,4 ) são vértices consecutivos de um quadrado. Calcular os outros dois vértices, utilizando a matriz-rotação.
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