Exercícios Resolvidos de Matriz Rotação

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Enunciado

A matriz

é uma rotação de π 6 radianos em torno do eixo y em R 3 . Assinale abaixo a matriz A 6 .

Dica: não é uma boa ideia fazer a conta “na força bruta”, A × A × A … × A .

Passo 1

Bom, a questão disse que não é uma boa ideia ficar multiplicando A por ela mesma 6 vezes.

Outra coisa que também vai dar trabalho é diagonalizar a matriz A.

Ué, então como a gente vai resolver essa questão?

Lembra que uma matriz de rotação de θ   r a d   em torno do eixo y no R 3 é dessa forma:

E por que eu tô lembrando disso?

Porque fazer A 6 é fazer a transformação A 6 vezes, o que significa rodar seis vezes de um ângulo de π 6 em torno do eixo y.

Isso equivale a uma única rotação de π em torno de y!

Então é só substituir θ = π na matriz anterior:

Resposta

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Os pontos A ( 2 , - 1 ) e B ( - 1 ,4 ) são vértices consecutivos de um quadrado. Calcular os outros dois vértices, utilizando a matriz-rotação.
O vetor v = ( 3 ,2 ) experimenta sequencialmente:1) Uma reflexão em torno da reta y = x ;2) Um cisalhamento horizontal da fetor 2 ;3) Uma contração na direção O y de fator 1 3 ;4) Uma rotação de 90 °
Determinar, em cada caso, a matriz da transformação linear de R 2 em R 2 que representa a sequência de transformações dadas.Rotação de 30 ° no sentido horário, seguida de uma duplicação dos módulos e
Determinar, em cada caso, a matriz da transformação linear de R 2 em R 2 que representa a sequência de transformações dadas.Reflexão em torno da reta y = - x , seguida de uma dilatação de fator 2 na d
Determinar, em cada caso, a matriz da transformação linear de R 2 em R 2 que representa a sequência de transformações dadas.Rotação de 60 ° , seguida de uma reflexão em relação ao eixo dos y .