Exercícios Resolvidos de Matriz Rotação

UFRJ, Álgebra Linear, P2 - 2017.1, Questão 15

A matriz associada à rotação em R 2 de um ângulo α no sentido anti-horário em torno da origem é:

R = cos α - sin α sin α cos α

Lembrando que o produto de matrizes representa a composição de transformações lineares, a matriz R k = R R R   k   v e z e s é dada por:

a) R k = cos k α - sin k α sin k α cos k α

b) R k = cos α k - sin α k sin α k cos α k

c) R k = cos α k - sin α k sin α k cos α k

d) R k = k cos α - k sin k α k   sin α   k cos k α

Passo 1

Vamos pensar em uma rotação feita várias vezes, se aplicada uma vez no vetor, ele rotaciona um ângulo α , se aplicada k   vezes, ele vai rotacionar um ângulo k α :

Conseguimos ver na imagem acima, na primeira, apliquei a transformação 1 vez e assim meu vetor rotacionou α   graus, já na segunda eu rotacionei de novo e assim ele ficou com α graus do vetor rotacionado uma vez e 2 α do vetor inicial.

Dá então pra entender o que acontece quando rotaciono, 3, 4 ,5 ou até k vezes! Meu ângulo passa a ser 3 α ,   4 α ,   5 α ,   k α

Por isso, a matriz rotação R k vai ser:

R k = cos k α - sin k α sin k α cos k α

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Resposta

a

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