Exercícios Resolvidos de Matriz Rotação

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Enunciado

A matriz associada à rotação em R 2 de um ângulo α no sentido anti-horário em torno da origem é:

R = cos ⁡ α - sin ⁡ α sin ⁡ α cos ⁡ α

Lembrando que o produto de matrizes representa a composição de transformações lineares, a matriz R k = R R … R   ⏟ k   v e z e s é dada por:

a) R k = cos ⁡ k α - sin ⁡ k α sin ⁡ k α cos ⁡ k α

b) R k = cos ⁡ α k - sin ⁡ α k sin ⁡ α k cos ⁡ α k

c) R k = cos ⁡ α k - sin ⁡ α k sin ⁡ α k cos ⁡ α k

d) R k = k cos ⁡ α - k sin ⁡ k α k   sin ⁡ α   k cos ⁡ k α

Passo 1

Vamos pensar em uma rotação feita várias vezes, se aplicada uma vez no vetor, ele rotaciona um ângulo α , se aplicada k   vezes, ele vai rotacionar um ângulo k α :

Conseguimos ver na imagem acima, na primeira, apliquei a transformação 1 vez e assim meu vetor rotacionou α   graus, já na segunda eu rotacionei de novo e assim ele ficou com α graus do vetor rotacionado uma vez e 2 α do vetor inicial.

Dá então pra entender o que acontece quando rotaciono, 3, 4 ,5 ou até k vezes! Meu ângulo passa a ser 3 α ,   4 α ,   5 α ,   k α …

Por isso, a matriz rotação R k vai ser:

R k = cos ⁡ k α - sin ⁡ k α sin ⁡ k α cos ⁡ k α

Resposta

a

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Os pontos A ( 2 , - 1 ) e B ( - 1 ,4 ) são vértices consecutivos de um quadrado. Calcular os outros dois vértices, utilizando a matriz-rotação.
O vetor v = ( 3 ,2 ) experimenta sequencialmente:1) Uma reflexão em torno da reta y = x ;2) Um cisalhamento horizontal da fetor 2 ;3) Uma contração na direção O y de fator 1 3 ;4) Uma rotação de 90 °
Determinar, em cada caso, a matriz da transformação linear de R 2 em R 2 que representa a sequência de transformações dadas.Rotação de 30 ° no sentido horário, seguida de uma duplicação dos módulos e
Determinar, em cada caso, a matriz da transformação linear de R 2 em R 2 que representa a sequência de transformações dadas.Reflexão em torno da reta y = - x , seguida de uma dilatação de fator 2 na d
Determinar, em cada caso, a matriz da transformação linear de R 2 em R 2 que representa a sequência de transformações dadas.Rotação de 60 ° , seguida de uma reflexão em relação ao eixo dos y .