Exercícios Resolvidos de Matriz Rotação

UFRJ, Álgebra Linear, P2 - 2013.2, Questão 12

Seja T a T L representada pela matriz A = cos π 6 - sin π 6 sin π 6 cos π 6 . A imagem por T da reta y = 0 é:

a   cos π 6 x + sin π 6 y = 0

b     sin π 6 x + cos π 6 y = 0

c   cos π 6 x - sin π 6 y = 0

d   - sin π 6 x + cos π 6 y = 0

Passo 1

Opa, olha nossa matriz rotação aí! Bom, nesse exercício, saber que ela é a matriz rotação não vai te ajudar muito, mas é sempre mais legal quando sabemos com o que estamos lidando né haha.

Se aplicarmos o vetor genérico da reta y = 0 na nossa matriz:

cos π 6 - sin π 6 sin π 6 cos π 6 x 0 = x cos π 6 sin π 6

Isso quer dizer que o vetor da nossa imagem tem essa forma:

x , y = t cos π 6 , sin π 6

Agora vamos substituir esse vetor em cada letra e ver qual dá certo para qualquer valor de t :

a t cos 2 π 6 + t sin 2 π 6 = t 0         N ~ O K

b     t sin π 6 cos π 6 + t cos π 6 sin π 6 = 2 t sin π 6 cos π 6 0         N ~ O K

c t cos 2 π 6 - t sin 2 π 6 0         N ~ O K

d - t sin π 6 cos π 6 + t cos π 6 sin π 6 = 0         O K

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Resposta

Letra d

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