Exercícios Resolvidos de Matriz Rotação

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Enunciado

Seja T a T L representada pela matriz A = cos ⁡ π 6 - sin ⁡ π 6 sin ⁡ π 6 cos ⁡ π 6 . A imagem por T da reta y = 0 é:

a   cos ⁡ π 6 x + sin ⁡ π 6 y = 0

b     sin ⁡ π 6 x + cos ⁡ π 6 y = 0

c   cos ⁡ π 6 x - sin ⁡ π 6 y = 0

d   - sin ⁡ π 6 x + cos ⁡ π 6 y = 0

Passo 1

Opa, olha nossa matriz rotação aí! Bom, nesse exercício, saber que ela é a matriz rotação não vai te ajudar muito, mas é sempre mais legal quando sabemos com o que estamos lidando né haha.

Se aplicarmos o vetor genérico da reta y = 0 na nossa matriz:

cos ⁡ π 6 - sin ⁡ π 6 sin ⁡ π 6 cos ⁡ π 6 x 0 = x cos ⁡ π 6 sin ⁡ π 6

Isso quer dizer que o vetor da nossa imagem tem essa forma:

x , y = t cos ⁡ π 6 , sin ⁡ π 6

Agora vamos substituir esse vetor em cada letra e ver qual dá certo para qualquer valor de t :

a t cos 2 ⁡ π 6 + t sin 2 ⁡ π 6 = t ≠ 0         N ~ O K

b     t sin ⁡ π 6 cos ⁡ π 6 + t cos ⁡ π 6 sin ⁡ π 6 = 2 t sin ⁡ π 6 cos ⁡ π 6 ≠ 0         N ~ O K

c t cos 2 ⁡ π 6 - t sin 2 ⁡ π 6 ≠ 0         N ~ O K

d - t sin ⁡ π 6 cos ⁡ π 6 + t cos ⁡ π 6 sin ⁡ π 6 = 0         O K

Resposta

Letra d

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Os pontos A ( 2 , - 1 ) e B ( - 1 ,4 ) são vértices consecutivos de um quadrado. Calcular os outros dois vértices, utilizando a matriz-rotação.
O vetor v = ( 3 ,2 ) experimenta sequencialmente:1) Uma reflexão em torno da reta y = x ;2) Um cisalhamento horizontal da fetor 2 ;3) Uma contração na direção O y de fator 1 3 ;4) Uma rotação de 90 °
Determinar, em cada caso, a matriz da transformação linear de R 2 em R 2 que representa a sequência de transformações dadas.Rotação de 30 ° no sentido horário, seguida de uma duplicação dos módulos e
Determinar, em cada caso, a matriz da transformação linear de R 2 em R 2 que representa a sequência de transformações dadas.Reflexão em torno da reta y = - x , seguida de uma dilatação de fator 2 na d
Determinar, em cada caso, a matriz da transformação linear de R 2 em R 2 que representa a sequência de transformações dadas.Rotação de 60 ° , seguida de uma reflexão em relação ao eixo dos y .