Enunciado

Um dispositivo para produzir vibrações é constituído de dois volantes que giram em sentidos opostos, cada um contendo uma massa excêntrica m 0 = 1   kg , com um centro de massa a uma distância e = 12   mm do seu eixo de rotação. Os volantes são sincronizados de modo que as posições verticais das massas desbalanceadas são sempre idênticas. A massa total do dispositivo é de 10   kg . Determine os dois valores possíveis da constante de mola equivalente k para a montagem, que permitirão a amplitude da força periódica transmitida ao suporte fixo ser igual a 1500   N , devido ao desbalanceamento dos rotores a uma velocidade de rotação de 1800   rpm . Despreze o amortecimento.

Passo 1

Dados da questão:

  • Massa do dispositivo: m = 10   kg .
  • Massa excêntrica (duas!): m 0 = 1   kg .
  • Excentricidade: e = 12   mm .
  • Velocidade de rotação ω = 1800   rpm .
  • Rigidez equivalente: k . (Desconhecido!)

Um dispositivo tem duas massas excêntricas girando em fase.

Queremos saber quais valores de rigidez equivalente k são possíveis para transmitir 1500   N ao suporte periodicamente.

A única força atuando na base é devido ao componente elástico, F k . Então é esse cara aí que transmite forçamentos pra base! Como k é a rigidez equivalente:

F k = k y ( t )

Onde o y ( t ) é o movimento do dispositivo.

Vamos entender a dinâmica do problema para conseguir escrever melhor o F k !

Passo 2

Se considerarmos que o forçamento no dispositivo é algum F = F 0 sen ⁡ ω t (periódico!), e como não há amortecimento, a equação do movimento y do dispositivo fica simplesmente

y ¨ + 2 ξ ω n y ˙ + ω n 2 y = F 0 m sen ⁡ ω t

E dessa equação a gente sabe que a solução no regime permanente é

y p ( t ) = X sen ⁡ ( ω t + ϕ )

No fundo, é a solução permanente que nos interessa, porque a transiente some com o tempo. Então vamos colocar isso na expressão do F k

F k = k X sen ⁡ ( ω t + ϕ )

Essa é a força transmitida para a base! O valor máximo dela é a amplitude:

F b , m a x = k X

Queremos saber os valores de k para de tempos em tempos conseguirmos transmitir 1500   N para a base! Então a quando o F b , m a x = 1500   N , nosso dispositivo vai começar a passar isso pra base periodicamente!

Como não tem amortecimento, sabemos que a amplitude (sempre positivo!) é

X = F 0 / k 1 - ω ω n 2           →           k X = F 0 1 - ω ω n 2

Agora substitui F b , m a x = k X = 1500   N e ω n 2 = k / m .

F 0 1 - ω 2 k / m = 150 0   N

Show! O ω a gente sabe. Só falta descobrirmos quem é esse F 0 e aí resolver a equação com módulo.

Passo 3

Durante a rotação das massas excêntricas, o dispositivo desenvolve forças centrípetas!

Considerando uma das massas, m 0 , girando com velocidade ω a uma distância e , o valor da força centrípeta fica:

F = m 0 e ω 2

Como são duas massas, então o forçamento sobre o sistema vai ser

F 0 = 2 F = 2 m 0 e ω 2

Opa! Achamos quem faltava!

F 0 = 2 m 0 e ω 2           →           2 m 0 e ω 2 1 - ω 2 k / m = 1500   N

Substituindo os valores:

  852,7   N 1 - ( 1800 ⋅ 2 π / 60     rad/s ) 2 k / ( 10   kg ) = 1500   N

1 1 - 355305,7584   rad 2 /s 2   k = 1,759

O módulo significa que temos duas possibilidades. A primeira é considerando que o que está dentro dele vai dar positivo:

1 1 - 355305,7584   kg /s 2   k = + 1,759

k 1 = 823,43   kN/m

E a outra possibilidade é quando a gente considera que o que está dentro dele vai dar negativo:

1 1 - 355305,7584   rad 2 /s 2   k = - 1,759

k 2 = 226,52   kN/m

Resposta

Valores possíveis para a rigidez equivalente:

k 1 = 823,43   kN/m

k 2 = 2 26,52   kN/m

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