Exercícios Resolvidos de Medidas de Centralidade

EACH, USP – Slides Prof. Camilo Rodrigues Neto

Foram coletadas 150 observações da variável x , representando o número de vestibulares prestados por um aluno até passar. A tabela de frequência para x é a seguinte:

Calcule as medidas de posição da variável x e da variável despesa com o vestibular definida como d = 50 x + 1300 , onde 50 é o custo com a inscrição por vestibular e 1300 o custo com a preparação para o vestibular, assumido ser realizado uma única vez.

Passo 1

Medidas de posição são as médias, medianas e modas dos dados.

Começando por x , a média vai ser dada pela média aritmética. No nosso caso temos dados numa tabela de freqüência, então nossa média aritmética é calculada por:

x - = ∑ x i f i N = 1 × 75 + 2 × 47 + 3 × 21 + 4 × 7 150 = 1,73

A mediana vai ser o valor central, mas não vamos precisar escrever todos os 150 valores em ordem para ver quem tá no meio, repara comigo... temos 150 dados, então os centrais vão estar nas posições 75 e 76 , certo? Se ficar com dúvida, testa pra um número pequeno, tipo 10 :

1,2 , 3,4 , 5,6 , 7,8 , 9,10

Os valores centrais são 5 e 6 , concorda?

Beleza, então sabendo quem são as posições dos valores centrais, vamos na tabela de frequência descobrir o valor desses caras. Repara que x = 1 aparece 75 vezes, então a posição 75 é x = 1 . E a posição 76 vai ser a imediatamente após a 76 , certo? Que é quando x = 2 . Então nossa mediana vai ser a média entre esses dois valores:

M d = 1 + 2 2 = 1,5

E para a moda... é só ver qual x tem maior frequência, que é o x = 1 . Então:

M o = 1

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Para calcular os valores de d , basta substituirmos os x que existem na equação:

d = 5 0 x + 1300

Então:

d 1 = 50 × 1 + 1300 = 1350

d 2 = 50 × 2 + 1300 = 1400

d 3 = 50 × 3 + 1300 = 1450

d 4 = 50 × 4 + 1300 = 1500

Para calcular a média, vamos usar a mesma fórmula que usamos com a frequência relativa (que é a mesma frequência do x que usamos na equação de cada d ):

d - = ∑ d i f i N = 1 350 × 75 + 140 0 × 4 7 + 145 0 × 21 + 150 0 × 7 150 = 1386,7

A agora a posição 75 é ocupada por 1350 e a posição 76 por 1400 , então a mediana é:

M d d = 1350 + 1400 2 = 1375

E a moda é o valor com mais frequência, o d relacionado ao x = 1 , que é o de maior freqüência, ou seja, d 1 :

M o ( d ) = 1350

Resposta

x - = 1,73   ;   M d x = 1,5   ;   M o x = 1

d - = 1386,7   ; M d d = 1375   ;   M o d = 1350

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