Exercícios Resolvidos de Método de Francis

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Enunciado

Determinar a primeira iteração para encontrar os autovalores da matriz com o método de Francis:

A = 5 3 2 0 9 0 8 0 1 0

Passo 1

Se:

A = 5 3 2 0 9 0 8 0 10

Como a 21 = 0 , devemos zerar apenas o elemento a 31 . Assim U 1 = I para obtermos U 2 :

Zeramos o termo a 31 :

Onde:

A matriz das “letrinhas” e   U 2 :

  U 2 = c 0 s 0 1 0 - s 0 c

a' 31 = - s ⁡ a 11 + c   a 31 = 0

s = sen ⁡ φ = a 31 a 11 2 + a 31 2 = 8 5 2 + 8 2 = 0,848

c = cos ⁡ φ = a 11 a 11 2 + a 31 2 = 5 5 2 + 8 2 = 0 , 53

Passo 2

Se:

c 0 s 0 1 0 - s 0 c a 11 a 12 a 13 0 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 = a ' 11 a ' 12 a ' 13 0 a 22 a 23 0 a ' 32 a ' 33

0,53 0 0,848 0 1 0 - 0,848 0 0,53 5 3 2 0 9 0 8 0 10 = 9,434 1,59 9,54 0 9 0 0 - 2,544 3,604

Agora temos que zerar a 32 :

Zeramos o termo a 32 :

Onde:

A matriz das “letrinhas” e   U 3 :

  U 3 = 1 0 0 0 c s 0 - s c

a'' 32 = - s ⁡ a 22 + c   a ' 32 = 0

s = sen ⁡ φ = a ' 32 a 22 2 + a ' 32 2 = - 2,544 9 2 + ( - 2,544 ) 2 = - 0,272

c = cos ⁡ φ = a 22 a 22 2 + a ' 32 2 = 9 9 2 + ( - 2,544 ) 2 = 0 , 9623

Passo 3

Se:

1 0 0 0 c s 0 - s c a ' 11 a ' 12 a ' 13 0 a 22 a 23 0 a ' 32 a ' 33 = a ' 11 a ' 12 a ' 13 0 a ' 22 a ' 23 0 0 a ' ' 33

1 0 0 0 0,9623 - 0,272 0 0,272 0,9623 9,434 1,59 9,54 0 9 0 0 - 2,544 3,604 = 9,434 1,59 9,54 0 9,3527 - 0,9803 0 0 3,4681 R

E então   U 3 = 1 0 0 0 0,9623 - 0,272 0 0,272 0,9623 ,   U 2 = 0,53 0 0,848 0 1 0 - 0,848 0 0,53 e, portanto:

Q 1 = U 3 T U 2 T :

1 0 0 0 0,9623 0,272 0 - 0,272 0,9623 0,53 0 - 0,848 0 1 0 0,848 0 0,53 = 0,53 0 - 0,848 0,230656 0,9623 0,14416 0,8 16 - 0 , 272 0,5 1

Com isso:

A 1 = Q 1 R 1

A 2 = R 1 Q 1

A 2 = 9,434 1,59 9,54 0 9,3527 - 0,9803 0 0 3,4681 0,53 0 - 0,848 0,230656 0,9623 0,14416 0,816 - 0,272 0,51 = 13,1514 - 1,0648 - 2,9054 1,3573 9,2667 0 , 8483 2,83 0 , 9433 1,7687

Resposta

A 2 = 13,1514 - 1,0648 - 2,9054 1,3573 9,2667 0,8483 2,83 0,9433 1,7687

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