Exercícios Resolvidos de Método de Francis

Ver Teoria

Enunciado

Usando o método de Francis na matriz:

A = 7 5 6 0 3 - 1 0 1 9

É possível estimar seus autovalores aplicando o método uma única vez?

Passo 1

Se:

A = 7 5 6 0 3 - 1 0 1 9

Não precisamos zerar nem o a 21 nem o a 31 , pois eles já são 0 . Logo, U 1 = U 2 = I . Devemos zerar apenas o elemento a 32 . Assim U 3 :

Zeramos o termo a 32 :

Onde:

A matriz das “letrinhas” e   U 3 :

  U 3 = 1 0 0 0 c s 0 - s c

a' 32 = - s ⁡ a 22 + c   a 32 = 0

s = sen ⁡ φ = a 32 a 22 2 + a 32 2 = 1 3 2 + 1 2 = 0,3162

c = cos ⁡ φ = a 22 a 22 2 + a 32 2 = 3 3 2 + 1 2 = 0,9487

Passo 2

Se:

1 0 0 0 c s 0 - s c a 11 a 12 a 13 0 a 22 a 23 0 a 32 a 33 = a 11 a 12 a 13 0 a ' 22 a ' 23 0 0 a ' 33

1 0 0 0 0,9487 0,3162 0 - 0,3162 0,9487 7 5 6 0 3 - 1 0 1 9 = 7 5 6 0 3,1623 1,8971 0 0 8,8545 R

E então   U 3 = 1 0 0 0 0,9487 0,3162 0 - 0,3162 0,9487 e, portanto:

Q 1 = U 3 T = 1 0 0 0 0,9487 - 0,3162 0 0,3162 0,9487

Com isso:

A 1 = Q 1 R 1

A 2 = R 1 Q 1

A 2 = 7 5 6 0 3,1623 1,8971 0 0 8,8545 1 0 0 0 0,9487 - 0,3162 0 0,3162 0,9487 = 7 6,6407 4,1112 0 3,6 0,8 0 2,8 8 , 4

Opa, como podemos ver, o erro (valor absoluto abaixo da diagonal principal) desse método após uma iteração NÃO deu zero! Logo, NÃO achamos o valor dos autovalores de primeira!!

Resposta

Não

Exercícios de Livros Relacionados

Usando o método Q R , determinar todos os autovalores das matrizes: A = 4 4 - 3 0 8 1 0 2 - 1 ; B = 12 3 1 - 9 - 2 - 3 14 6 2 com precisão de 10 - 2 .
Usando o método QR, uma única vez, na matriz: A = 1 1 3 2 0 1 2 1 - 1 e possível estimar seus autovalores?
Determinar o autovalor de maior valor absoluto da matriz: A = 4 2 2 2 5 1 2 1 6 usando o método das potências. Use como vetor inicial y 0 =8 9 , 8 9 ,1 t . Dê seu valor aproximado após três iterações.
Considere a matrizes: A = 10 - 1 0 - 1 2 0 0 0 1 ; B = 100 0 99 0 20 0 99 0 101 Determine os autovalores de A, usando:a) Caso haja convergência pelo método de Rutishauser, o que se deve esperar?b) Det
Considere a matriz: A = 4 1 1 2 4 1 0 1 4 Determine os autovalores de A, com precisão de 10 - 2 , usando:a) o método L R ;b) o método Q R .