Exercícios Resolvidos de Método de Francis

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Enunciado

Determinar a primeira iteração para encontrar os autovalores da matriz com o método de Francis:

A = 2 0 1 0 1 0 1 0 1

Com ε < 0,1

Passo 1

Se:

A = 2 0 1 0 1 0 1 0 1

Como a 21 = 0 , devemos zerar apenas o elemento a 31 . Assim U 1 = I para obtermos U 2 :

Zeramos o termo a 31 :

Onde:

A matriz das “letrinhas” e   U 2 :

  U 2 = c 0 s 0 1 0 - s 0 c

a' 31 = - s ⁡ a 11 + c   a 31 = 0

s = sen ⁡ φ = a 31 a 11 2 + a 31 2 = 1 2 2 + 1 2 = 0,4472

c = cos ⁡ φ = a 11 a 11 2 + a 31 2 = 2 2 2 + 1 2 = 0,8944

Passo 2

Se:

c 0 s 0 1 0 - s 0 c a ' 11 a ' 12 a ' 13 0 a ' 22 a ' 23 a ' 31 a ' 32 a ' 33 = a ' 11 a ' 12 a ' 13 0 a ' 22 a ' 23 0 a ' 32 a ' 33

Agora temos que a 32 = 0 e então   U 3 = I ,   U 3   U 2   U 1 =   U 2 e, portanto U 2 T = Q .

Com isso:

A 1 = Q 1 R 1

A 2 = R 1 Q 1

A 2 = 2,236 0 1,3416 0 1 0 0 0 0,4472 0,8944 0 - 0,4472 0 1 0 0,4472 0 0,8944 = 2,5998 0 0,2 0 1 0 0,2 0 0,4

A 2 = 2,5998 0 0,2 0 1 0 0,2 0 0,4

O termo da matriz triangular inferior 0,2 > e r r o = 0,1

Isso significa que devemos fazer outra iteração.

Resposta

A 2 = 2,5998 0 0,2 0 1 0 0,2 0 0,4

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