Exercícios Resolvidos de Método de Francis

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Enunciado

Usando o método de Francis uma única vez na matriz:

A = 4 4 - 3 0 8 1 0 2 - 1

É possível estimar seus autovalores?

Passo 1

Se:

A = 4 4 - 3 0 8 1 0 2 - 1

Não precisamos zerar nem o a 21 nem o a 31 , pois eles já são 0 . Logo, U 1 = U 2 = I . Devemos zerar apenas o elemento a 32 . Assim U 3 :

Zeramos o termo a 32 :

Onde:

A matriz das “letrinhas” e   U 3 :

  U 3 = 1 0 0 0 c s 0 - s c

a' 32 = - s ⁡ a 22 + c   a 32 = 0

s = sen ⁡ φ = a 32 a 22 2 + a 32 2 = 2 8 2 + 2 2 = 0,24253

c = cos ⁡ φ = a 22 a 22 2 + a 32 2 = 8 8 2 + 2 2 = 0,97012

Passo 2

Se:

1 0 0 0 c s 0 - s c a 11 a 12 a 13 0 a 22 a 23 0 a 32 a 33 = a 11 a 12 a 13 0 a ' 22 a ' 23 0 0 a ' 33

1 0 0 0 0,97012 0,24253 0 - 0,24253 0,97012 4 4 - 3 0 8 1 0 2 - 1 = 4 4 - 3 0 8,25466 0,72867 0 0 - 1,21265 R

E então   U 3 = 1 0 0 0 0,9623 - 0,272 0 0,272 0,9623 e, portanto:

Q 1 = U 3 T = 1 0 0 0 0,9623 0,272 0 - 0,272 0,9623

Com isso:

A 1 = Q 1 R 1

A 2 = R 1 Q 1

A 2 = 4 4 - 3 0 8,25466 0,72867 0 0 - 1,21265 1 0 0 0 0,9623 0,272 0 - 0,272 0,9623 = 4 4 , 6652 - 1,7989 0 7,7453 2,9465 0 0,3298 1,167

Opa, como podemos ver, o erro (valor absoluto abaixo da diagonal principal) desse método após uma iteração NÃO deu zero! Logo, NÃO achamos o valor dos autovalores de primeira!!

Resposta

Não.

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