Exercícios Resolvidos de Método do Equilíbrio de Nós

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Enunciado

A treliça abaixo foi sujeita ao carregamento mostrado. Determine o valor do normal nas barras AB, AD, GI e HI.

Passo 1

Para resolver os problemas sobre treliças precisamos seguir uma sequência de passos que facilita a resolução, em que temos que respeitar o seguinte

  • Primeiro devemos calcular as reações de apoios da nossa treliça, que será calculada levando em consideração dois fatores
  • As reações

    E as equações de equilíbrio

    ∑ F x = 0

    ∑ F y = 0

    ∑ M a = 0

  • A segunda coisa que devemos analisar nesse exercício é o melhor nó, e para isso temos que lembrar que no equilíbrio de nós sempre iremos usar as seguintes equações
  • ∑ F y = 0

    ∑ F x = 0

    Ou seja, se temos duas equações, só podemos ter duas incógnitas para resolver o nosso nó.

    Como cada barra representa uma incógnita, e que pelo passo anterior já teremos calculado as reações de apoio, sabemos que as únicas incógnitas serão as barras, e lembre-se, se cada barra é uma incógnita, e eu só posso ter duas incógnitas por nó, os melhores nós para iniciarmos serão aqueles que tem duas barras.

  • A terceira coisa que devemos ver é que sempre que resolvemos uma barra, tiramos uma incógnita do nosso problema, ou seja, se tivermos nós que compartilhem a mesma barra, pro nó ainda a ser resolvido, a barra compartilhada com ele o ajudará a calcular as desconhecidas, sempre, é claro, respeitando a regra de duas barras desconhecidas por nó, como vimos na teoria.

Se seguirmos esse último passo ao pé da letra, conseguiremos resolver tranquilamente todas as barras de uma treliça.

Agora que já conhecemos os três passos da nossa solução, vamos aplicar eles ao nosso problema.

Passo 2

A primeira coisa que devemos fazer como vimos no nosso passo a passo é definir as reações de apoio. Para isso devemos primeiro determinar os vetores reações de apoio e lembrar que sempre consideramos a nossa treliça como um elemento solido e único que usamos para determinar essas reações, com isso teremos que o nosso diagrama de corpo livre será

Definido os vetores reações de apoio já podemos usar as fórmulas de equilíbrio

  • ∑ F x = 0
  • H I = 0

  • ∑ M I = 0
  • - 8   . V a + 3 00   .     6   + 300   .     4 + 300   .     2 = 0

    8 V a = 3600

    V a = 450

  • ∑ F y = 0

V I + V a - 300 - 300 - 300 = 0

Substituindo

V I + 4 50 - 900 = 0

V I = 450

Assim já cumprimos a primeira parte do nosso passo a passo.

Passo 3

Agora que já cumprimos a primeira parte, precisamos fazer a segunda parte, que consiste em definir os melhores nós a serem calculados, e o valor do normal nas barras desses nós.

Como vimos anteriormente, os melhores nós para iniciarmos são aqueles que possuem somente duas barras, já que como vimos, cada nó só pode ter duas barras desconhecidas.

Com isso a nossa barra tem que os melhores nós que ela possui para iniciarmos os cálculos são

Pois são os únicos nós que possuem somente duas barras, logo, são os melhores para iniciarmos, e perceba o seguinte, esses dois nós possuem exatamente as barras que precisamos calcular, ou seja, fazer o equilíbrio deles nós permitirá calcular exatamente as barras que são pedidas no problema. Vamos calcula-las então.

Passo 4

Agora precisamos fazer o equilíbrio dos nós, vamos começar pelo nó A.

Sabemos que a primeira coisa que devemos fazer é isolar o nó como vemos abaixo

A segunda coisa que devemos fazer é colocar os normais saindo das barras cortadas

A terceira coisa que devemos fazer é definir o seno e o cosseno do ângulo entre as barras, pra isso usaremos as medidas dadas na nossa treliça

Sabemos que podemos calcular o nosso ângulo pela tangente, dessa forma teremos

T g θ = 8 2 = 4

Qual ângulo tem tangente igual a 4?

θ = 76 °

θ + β + 90 ° = 180 °

76 ° + β + 90 ° = 180 °

β = 14 °

Agora já conseguimos decompor os nossos normais, já que já temos os ângulos, vamos calcula-los então.

Passo 5

Vamos lá então, decompondo os nossos normais teremos que

Fazendo a decomposição teremos que

N A D y N A D = C o s θ

N A D y = N A D   .   C o s θ

N A D x N A D = S e n θ

N A D x = N A D   .   S e n θ

Substituindo e fazendo o equilíbrio teremos que

N A D x = N A D   .   S e n θ = 0

N A D y + N A B + 450 = 0  

N A D   .   C o s θ + N A B + 450 = 0

Sabemos que θ = 76 ° , substituindo teremos que

N A D   .   S e n 76 ° = 0

Logo

N A D = 0

Substituindo no segundo sistema teremos

N A D   .   C o s 76 ° + N A B + 450 = 0

N A B + 450 = 0

N A B = - 450   K N

Então já calculamos os normais das barras do nó A.

Passo 6

Vamos agora calcular os normais do segundo nó, o nó I , sabemos que a primeira coisa que devemos fazer é isolar o nó como vemos abaixo

A segunda coisa que devemos fazer é colocar os normais saindo das barras cortadas

Agora já conseguimos decompor os nossos normais, já que já temos os ângulos, vamos calcula-los então.

Passo 7

Vamos lá então, decompondo os nossos normais teremos que

Fazendo a decomposição teremos que

N G I y N G I = S e n   β

N G I y = N G I   .   S e n   β

N G I x N G I = C o s   β

N G I x = N G I   .   C o s   β

Substituindo e fazendo o equilíbrio teremos que

N G I x + N H I   = 0

N G I y - 450 = 0  

Sabemos que β = 14 ° , substituindo teremos que

N G I   .   S e n   14 ° - 450 = 0

Logo

N G I = 1860 K N

Substituindo no segundo sistema teremos

N G I x + N H I   = 0

N G I   .   C o s   14 ° + N H I   = 0

1860   .   C o s   14 ° + N H I   = 0

N H I = - 1805   K N

Então já calculamos os normais das barras do nó I.

Resposta

Os Normais são

N A D = 0

N A B = - 450   K N

N G I = 1860 K N

N H I = - 1805   K N

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