Exercícios Resolvidos de Métodos de Runge-Kutta

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Enunciado

Calcular a EDO:

y ' = 1 x + y

No intervalo 1 ≤ x ≤ 2 , para y 0 = 2 e passo h = 0.5 . Resolver pelo método de Runge-Kutta de 4ª ordem.

Passo 1

O primeiro passo nessas questões de EDO é sempre escrever as equações adaptadas ao problema do método que a gente tá usando. No caso do Runge-Kutta as equações são:

K 1 = f ( x , y )

K 2 = f ( x + h 2 , y + h 2 K 1 )

K 3 = f ( x + h 2 , y + h 2 K 2 )

K 4 = f ( x + h , y + h K 3 )

y x + h = y x + h 6 ( K 1 + 2 K 2 + 2 K 3 + K 4 )

Começou a ficar meio feio né. Mas o que essas fórmulas aí querem dizer é o seguinte oh:

f ( x , y ) é tudo que tá do lado direito da igualdade okay? Então...

K 1 = 1 x + y

Para escrever a fórmula do K 2 , basta pegarmos 1 x + y e

- Onde tiver escrito x , escreva x + h 2 ;

- Onde tiver escrito y , escreva y + h 2 * K 1 . E esse K 1 é o resultado da primeira equação e h é o passo que o professor pediu.

A equação do K 2 fica assim então oh:

K 2 = 1 x + h 2 + y + h 2 K 1

K 2 = 1 x + 0.25 + y + 0.25 * K 1

Beleza agora é só seguir a mesma idéia para as outras.

K 3 = f ( x + h 2 , y + h 2 K 2 )

K 3 = 1 x + 0.25 + y + 0.25 * K 2

Em K 4 ao invés de usarmos h 2 , usaremos apenas h .

K 4 = f ( x + h , y + h K 3 )

K 4 = 1 x + 0.5 + y + 0.5 * K 3

Agora que já temos as equações adaptadas ao nosso problema vamos construir uma tabela pra facilitar nossa vida.

Passo 2

A tabela é essa aqui oh:

Nela vamos colocar os resultados de todos os cálculos blz? Por enquanto a linha do x tá preenchida com os valores de 1 até 2 com passo 0.5 que foi o que o professor pediu no enunciado, lembra? Ele também disse que o y 0 = 2 , em outras palavras ele quer dizer que o primeiro valor de y   na tabela é 2.

Show de bolinhas, agora é só por a mão na massa e ir calculando todos os K para achar o próximo y .

Coluna x = 1

K 1 = 1 x + y = 1 1 + 2 = 3

K 2 = 1 x + 0.25 + y + 0.25 * K 1

K 2 = 1 ( 1 ) + 0.25 + 2 + 0.25 * 3 = 3.55

K 3 = 1 x + 0.25 + y + 0.25 * K 2

K 3 = 1 ( 1 ) + 0.25 + 2 + 0.25 * 3.55 = 3.688

K 4 = 1 x + 0.5 + y + 0.5 * K 3

K 4 = 1 ( 1 ) + 0.5 + 2 + 0.5 * 3.688 = 4.51

Agora que já temos todos os valores de K, podemos calcular o valor de y quando x = 1.5 .

y 1.5 = y 1 + h 6 ( K 1 + 2 K 2 + 2 K 3 + K 4 )

y 1.5 = 2 + 0.5 6 3 + 2 * 3.55 + 2 * 3.688 + 4.51 = 3.8321

Passando tudo pra tabela temos:

Coluna x = 1 .5

K 1 = 1 x + y = 1 1.5 + 3.8321 = 4.4988

K 2 = 1 x + 0.25 + y + 0.25 * K 1

K 2 = 1 ( 1.5 ) + 0.25 + 3.8321 + 0.25 * 4.4988 = 5.528

K 3 = 1 x + 0.25 + y + 0.25 * K 2

K 3 = 1 ( 1.5 ) + 0.25 + 3.8321 + 0.25 * 5.528 = 5.785

K 4 = 1 x + 0.5 + y + 0.5 * K 3

K 4 = 1 1.5 + 0.5 + 3.8321 + 0.5 * 5.785 = 7.225

Agora que já temos todos os valores de K, podemos calcular o valor de y quando x = 2 .

y 2 = y 1.5 + h 6 ( K 1 + 2 K 2 + 2 K 3 + K 4 )

y 1.5 = 3.8321 + 0.5 6 4.4988 + 2 * 5.528 + 2 * 5.785 + 7.225 = 6.695

Passando tudo pra tabela temos:

Resposta

y 1.5 = 3.8321

y 2 = 6.695

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