Exercícios Resolvidos de Métodos de Runge-Kutta

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Enunciado

Dada a equação diferencial T ' = t . c o s ( t + T ) calcule 𝑇(2) e 𝑇(3) com 3 casas decimais, usando o método de Runge-Kutta de 4ª ordem. Para t=1, temos T=3. Escrever as fórmulas adaptadas à questão.

Passo 1

Bom o professor já entregou pra gente a EDO separadinha f t , T do lado direito da igualdade e a derivada do lado esquerdo. Então o que a gente precisa resolver agora é escrever as equações adaptadas ao problema do método que a gente tá usando. No caso do Runge-Kutta as equações são:

K 1 = f ( t , T )

K 2 = f ( t + h 2 , T + h 2 K 1 )

K 3 = f ( t + h 2 , T + h 2 K 2 )

K 4 = f ( t + h , T + h K 3 )

T t + h = T t + h 6 ( K 1 + 2 K 2 + 2 K 3 + K 4 )

Oh e agora? Quem poderá nos ajudar?

Caaaaalma, vamos decifrar isso aí. O que essas fórmulas aí querem dizer é o seguinte oh:

f ( t , T ) é tudo que tá do lado direito da igualdade okay? Então...

K 1 = t * c o s ( t + T )

Para escrever a fórmula do K 2 , basta pegarmos t . c o s ( t + T ) e

- Onde estiver escrito t , substitua por t + h 2

- Onde tiver escrito T , escreva T + h 2 * K 1 . Esse K 1 é o resultado da primeira equação e h é o passo que o professor pediu.

A equação do K 2 fica assim então oh:

K 2 = f ( t + h 2 , T + h 2 K 1 )

K 2 = ( t + 0.5 ) * c o s ⁡ [ ( t + 0.5 ) + ( T + 0.5 K 1 ) ]

Beleza agora é só seguir a mesma idéia para as outras.

K 3 = f ( t + h 2 , T + h 2 K 2 )

K 3 = ( t + 0.5 ) * c o s ⁡ [ ( t + 0.5 ) + ( T + 0.5 K 2 ) ]

Em K 4 ao invés de usarmos h 2 , usaremos apenas h .

K 4 = f ( t + h , T + h K 3 )

K 4 = ( t + 1 ) * c o s ⁡ [ ( t + 1 ) + ( T + K 3 ) ]

Agora que já temos as equações adaptadas ao nosso problema vamos construir uma tabela pra facilitar nossa vida.

Passo 2

A tabela é essa aqui oh:

Nela vamos colocar os resultados de todos os cálculos blz? Por enquanto a linha do t tá preenchida com os valores de 1 até 3 e passo h = 1 que foi o que o professor pediu no enunciado, tranquilo até aqui? Ele também disse que para t = 1 , temos T = 3

Show de bolinhas, agora é só por a mão na massa e ir calculando todos os K para achar o próximo y .

Coluna t = 1

K 1 = t * c o s ( t + T )

K 1 = 1 * c o s 1 + 3 = - 0.654

K 2 = ( t + 0.5 ) * c o s ⁡ [ ( t + 0.5 ) + ( T + 0.5 K 1 ) ]

K 2 = 1 + 0.5 * cos ⁡ 1 + 0.5 + 3 + 0.5 * - 0.654 = - 0.770

K 3 = ( t + 0.5 ) * c o s ⁡ [ ( t + 0.5 ) + ( T + 0.5 K 2 ) ]

K 3 = 1 + 0.5 * cos ⁡ 1 + 0.5 + 3 + 0.5 * - 0.770 = - 0.844

K 4 = ( t + 1 ) * c o s ⁡ [ ( t + 1 ) + ( T + K 3 ) ]

K 4 = 1 + 1 * cos ⁡ 1 + 1 + 3 + - 0.844 = - 1.056

Agora que já temos todos os valores de K, podemos calcular o valor de y quando t = 2 .

T 2 = T 1 + h 6 ( K 1 + 2 K 2 + 2 K 3 + K 4 )

T 2 = 3 + 1 6 - 0.654 + 2 * - 0.770 + 2 * - 0.844 - 1.056 = 2.177

Passando tudo pra tabela temos:

Bora agora calcular os valores de K para a coluna t = 2 .

K 1 = t * c o s ( t + T )

K 1 = 2 * c o s 1 + 2.177 = - 1.02

K 2 = ( t + 0.5 ) * c o s ⁡ [ ( t + 0.5 ) + ( T + 0.5 K 1 ) ]

K 2 = 2 + 0.5 * cos ⁡ 2 + 0.5 + 2.177 + 0.5 * - 1.02 = - 1.297

K 3 = ( t + 0.5 ) * c o s ⁡ [ ( t + 0.5 ) + ( T + 0.5 K 2 ) ]

K 3 = 2 + 0.5 * cos ⁡ 2 + 0.5 + 2.177 + 0.5 * - 1.297 = - 1.579

K 4 = ( t + 1 ) * c o s ⁡ [ ( t + 1 ) + ( T + K 3 ) ]

K 4 = 2 + 1 * cos ⁡ 2 + 1 + 2.177 + - 1.579 = - 2.693

Agora que já temos todos os valores de K, podemos calcular o valor de y quando t = 2 .

T 3 = T 2 + h 6 ( K 1 + 2 K 2 + 2 K 3 + K 4 )

T 3 = 2.177 + 1 6 - 1.02 + 2 * - 1.297 + 2 * - 1.579 - 2.693 = 0.599

Passando tudo pra tabela temos:

Resposta

T 2 = 2.177

T 3 = 0.599

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