Exercícios Resolvidos de Métodos de Runge-Kutta

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Enunciado

Um indivíduo está recebendo uma injeção intravenosa de glicose na taxa constante de c m g m i n . É um fato biológico que, dentro de certos limites, o corpo utiliza a glicose em uma taxa proporcional à sua concentração na corrente sanguínea. A EDO que modela esta situação é: y ' t = c V - k y , onde V é o volume de sangue no corpo do indivíduo, consideraremos que a quantidade de glicose injetada não altera V apreciavelmente. A mudança da concentração de glicose no sangue é o resultado de dois fatores: um aumento devido à injeção intravenosa permanente e a redução devida à retirada da glicose sanguínea pelo corpo. Em um tempo t qualquer, a taxa de mudança de concentração devida à injeção intravenosa permanente é c V , e a taxa de mudança de concentração devida aos processos metabólicos é −𝑘𝑦, para alguma constante k positiva. Supondo c = 12   m g / m i n , V = 5 l e k = 0.12 , como calcular, pelo método de Runge-Kutta de 4a. ordem, a concentração de glicose entre 10 e 14 minutos com 𝑦0 = 12.5 𝑒 ℎ = 1?

Passo 1

Antes de mais nada, bora substituir os valores que ele deu no enunciado diretinho na EDO.

y ' t = c V - k y

y ' t = 12 5 - 0.12 y = 2.4 - 0.12 y

Depois disso, SEEMPRE nessas questões de EDO precisamos escrever as equações adaptadas ao problema do método que a gente tá usando. No caso do Runge-Kutta as equações são:

K 1 = f ( t , y )

K 2 = f ( t + h 2 , y + h 2 K 1 )

K 3 = f ( t + h 2 , y + h 2 K 2 )

K 4 = f ( t + h , y + h K 3 )

y t + h = y t + h 6 ( K 1 + 2 K 2 + 2 K 3 + K 4 )

Loucura, Loucura, Loucura. Maaaas vamos decifrar isso aí. O que essas fórmulas aí querem dizer é o seguinte oh:

f ( t , y ) é tudo que tá do lado direito da igualdade okay? Então...

K 1 = 2.4 - 0.12 * y ( t )

Para escrever a fórmula do K 2 , basta pegarmos 2.4 - 0.12 y ( t ) e

- Onde tiver escrito y , escreva y + h 2 * K 1 . Esse K 1 é o resultado da primeira equação e h é o passo que o professor pediu.

A equação do K 2 fica assim então oh:

K 2 = f ( t + h 2 , y + h 2 K 1 )

K 2 = 2.4 - 0.12 ( y t - 0.5 K 1 )

Beleza agora é só seguir a mesma idéia para as outras.

K 3 = f ( t + h 2 , y + h 2 K 2 )

K 3 = 2.4 - 0.12 ( y t - 0.5 K 2 )

Em K 4 ao invés de usarmos h 2 , usaremos apenas h .

K 4 = f ( t + h , y + h K 3 )

K 4 = 2.4 - 0.12 ( y t - K 3 )

Agora que já temos as equações adaptadas ao nosso problema vamos construir uma tabela pra facilitar nossa vida.

Passo 2

A tabela é essa aqui oh:

Nela vamos colocar os resultados de todos os cálculos blz? Por enquanto a linha do t tá preenchida com os valores de 10 até 14 minutos e passo 1 que foi o que o professor pediu no enunciado, tranquilo até aqui? Ele também disse que y 0 = 12.5 . Em outras palavras ele quer dizer que quando t = 10 y = 12.5   .

Show de bolinhas, agora é só por a mão na massa e ir calculando todos os K para achar o próximo y .

Coluna t = 10

K 1 = 2.4 - 0.12 * y t

K 1 = 2.4 - 0.12 * ( 12.5 ) = 0.9

K 2 = 2.4 - 0.12 * ( y t - 0.5 K 1 )

K 2 = 2.4 - 0.12 * ( 12.5 - 0.5 * ( 0.9 ) ) = 0.846

K 3 = 2.4 - 0.12 * ( y t - 0.5 K 2 )

K 3 = 2.4 - 0.12 * ( 12.5 - 0.5 * ( 0.846 ) ) = 0.849

K 4 = 2.4 - 0.12 * ( y t - K 3 )

K 4 = 2.4 - 0.12 * 12.5 - ( 0.849 ) = 0.798

Agora que já temos todos os valores de K, podemos calcular o valor de y quando t = 11 .

y 11 = y 10 + h 6 ( K 1 + 2 K 2 + 2 K 3 + K 4 )

y 11 = 12.5 + 1 6 0.9 + 2 * 0.846 + 2 * 0.849 + 0.798 = 13.348

Passando tudo pra tabela temos:

Bora agora calcular os valores de K para a coluna t = 11 .

K 1 = 2.4 - 0.12 * y t

K 1 = 2.4 - 0.12 * ( 13.348 ) = 0.798

K 2 = 2.4 - 0.12 * ( y t - 0.5 K 1 )

K 2 = 2.4 - 0.12 * ( 13.348 - 0.5 * ( 0.798 ) ) = 0.750

K 3 = 2.4 - 0.12 * ( y t - 0.5 K 2 )

K 3 = 2.4 - 0.12 * ( 13.348 - 0.5 * ( 0.750 ) ) = 0.753

K 4 = 2.4 - 0.12 * ( y t - K 3 )

K 4 = 2.4 - 0.12 * 13.348 - ( 0.753 ) = 0.708

Só substituir na fórmula do y ( 12 ) agora.

y 12 = y 11 + h 6 ( K 1 + 2 K 2 + 2 K 3 + K 4 )

y 12 = 13.348 + 1 6 0.798 + 2 * 0.750 + 2 * 0.753 + 0.708 = 14.1

Passando tudo pra tabela temos:

Coluna t = 12

K 1 = 2.4 - 0.12 * y t

K 1 = 2.4 - 0.12 * ( 14.1 ) = 0.708

K 2 = 2.4 - 0.12 * ( y t - 0.5 K 1 )

K 2 = 2.4 - 0.12 * ( 14.1 - 0.5 * ( 0.708 ) ) = 0.666

K 3 = 2.4 - 0.12 * ( y t - 0.5 K 2 )

K 3 = 2.4 - 0.12 * ( 14.1 - 0.5 * ( 0.666 ) ) = 0.668

K 4 = 2.4 - 0.12 * ( y t - K 3 )

K 4 = 2.4 - 0.12 * 14.1 - ( 0.668 ) = 0.628

Agora que já temos todos os valores de K, podemos calcular o valor de y quando t = 13 .

y 13 = y 12 + h 6 ( K 1 + 2 K 2 + 2 K 3 + K 4 )

y 13 = 14.1 + 1 6 0.708 + 2 * 0.666 + 2 * 0.668 + 0.628 = 14.76

Passando tudo pra tabela temos:

Agora temos que achar os valores de K para a coluna t = 13 .

K 1 = 2.4 - 0.12 * y t

K 1 = 2.4 - 0.12 * ( 14.76 ) = 0.629

K 2 = 2.4 - 0.12 * ( y t - 0.5 K 1 )

K 2 = 2.4 - 0.12 * ( 14.76 - 0.5 * ( 0.629 ) ) = 0.591

K 3 = 2.4 - 0.12 * ( y t - 0.5 K 2 )

K 3 = 2.4 - 0.12 * ( 14.76 - 0.5 * ( 0.591 ) ) = 0.593

K 4 = 2.4 - 0.12 * ( y t - K 3 )

K 4 = 2.4 - 0.12 * 14.76 - ( 0.593 ) = 0.558

Agora que já temos todos os valores de K, podemos calcular o valor de y quando t = 14 .

y 14 = y 13 + h 6 ( K 1 + 2 K 2 + 2 K 3 + K 4 )

y 14 = 14.76 + 1 6 0.629 + 2 * 0.591 + 2 * 0.593 + 0.558 = 15.35

Passando tudo pra tabela temos:

Resposta

y 11 = 13.348

y 12 = 14.1

y 13 = 14.76

y 14 = 15.35

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