Lista de Exercícios Resolvidos de Métodos de Runge-Kutta

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Determine a solução numérica aproximada da seguinte equação diferencial ordinária com passo h = 0.2 :

y ' + 2 y = 0 ,       ∀ x ∈ 0,1 y 0 = 1

a Usando o método de Runge-Kutta de 4ª ordem.

b Sabendo-se que a solução exata da equação é y = e - 2 x , compare com a solução aproximada obtida no item anterior.

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Calcule y 1 para y ' = y - x , y 0 = 2 , utilizando Runge-Kutta de 4ª ordem com h = 0.2 . Compare o resultado com o valor exato de y x nos pontos x i sabendo que y x = e x + x + 1 .

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Um indivíduo está recebendo uma injeção intravenosa de glicose na taxa constante de c m g m i n . É um fato biológico que, dentro de certos limites, o corpo utiliza a glicose em uma taxa proporcional à sua concentração na corrente sanguínea. A EDO que modela esta situação é: y ' t = c V - k y , onde V é o volume de sangue no corpo do indivíduo, consideraremos que a quantidade de glicose injetada não altera V apreciavelmente. A mudança da concentração de glicose no sangue é o resultado de dois fatores: um aumento devido à injeção intravenosa permanente e a redução devida à retirada da glicose sanguínea pelo corpo. Em um tempo t qualquer, a taxa de mudança de concentração devida à injeção intravenosa permanente é c V , e a taxa de mudança de concentração devida aos processos metabólicos é −𝑘𝑦, para alguma constante k positiva. Supondo c = 12   m g / m i n , V = 5 l e k = 0.12 , como calcular, pelo método de Runge-Kutta de 4a. ordem, a concentração de glicose entre 10 e 14 minutos com 𝑦0 = 12.5 𝑒 ℎ = 1?

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Calcular a EDO:

y ' = 1 x + y

No intervalo 1 ≤ x ≤ 2 , para y 0 = 2 e passo h = 0.5 . Resolver pelo método de Runge-Kutta de 4ª ordem.

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Considere o seguinte problema de valor inicial y ' = - y + t + 2 ,   y 0 = 2 ,   t ∈ 0,0.3 ,   h = 0.1 . Pede-se:

a Calcule uma aproximação para y 0.3 pelo método de Runge-Kutta de ordem 4 .

b Compare o resultado obtido com o valor exato y 0.3 dado pela solução y = e - t + t + 1 .

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Aplique o método de Runge-Kutta de 4ª ordem à equação y ' = sin ⁡ x y tal que y 1 = 1 para calcular y 1.2 com h = 0.2 .

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Dada a equação diferencial T ' = t . c o s ( t + T ) calcule 𝑇(2) e 𝑇(3) com 3 casas decimais, usando o método de Runge-Kutta de 4ª ordem. Para t=1, temos T=3. Escrever as fórmulas adaptadas à questão.

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Dado o problema de valor inicial

y ' = x 2 + 2 y x y 1 = 2

Determine uma aproximação para y 1.3 , com h = 0.3 usando o método de Runge-Kutta de 4ª ordem.

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