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Exercícios Resolvidos de Métodos de Ziegler-Nichols

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Enunciado

Um certo sistema, ao ser perturbado com uma entrada degrau unitária, apresenta a seguinte curva de reação

Projete um controlador PID para esse sistema utilizando os parâmetros de Zielger-Nichols de malha aberta.

Passo 1

Para definir os parâmetros do controlador, precisamos aproximar o sistema da curva a uma função de transferência de primeira ordem com tempo morto (FOPDT). Para isso, precisamos traçar a maior tangente com maior inclinação possível no gráfico do enunciado.

Essa tangente, será mais ou menos assim (não presisa ser extao, lembre-se, é uma aproximação):

Passo 2

Agora precisamos encontrar os parâmetros da função de transferência de primeira ordem com tempo morto:

K τ s + 1 e - θ s

O ganho K , é a variação total da saída. Como a saída variou de 0 até 1 , o ganho é 1 .

K = 1 - 0 = 1

O tempo morto, θ , é a distância entre o início da curva e o ponto onde a reta tangente que a nós traçamos cruza o valor inicial da respota.

Pelo nosso esboço, podemos estimar o ponto em que isso acontece como mais ou menos 0,2 . Sendo assim:

θ = 0,2 - 0 = 0,2   s e g

Por fim, a constante de tempo, τ , é aproximada pela diferença entre o tempo que a reta tangente cruza o valor final e o tempo que a reta tangente cruza o valor inicial. Portanto:

τ = 2,2 - 0,2 = 2,0   s e g

Sendo assim, nossa função de primeira ordem com tempo morto (FOPDT) aproximada ficou com a seguinte cara:

1 2 s + 1 e - 0,2 s

Passo 3

Para projetar nosso PID precisamos encontrar três parâmetros: K c , τ i e τ d . Podemos encontrar as correlações para esses três parâmetros na tabela de Ziegler Nichols para malha aberta

Como nosso controlador é PID, vamos usar a última linha para definir nossos parâmetros. Então:

K c = 1,2 τ θ K = 1,2 2 0,2 = 12

τ i = 2 * 0,2 = 0,4

τ d = 0,5 * 0,2 = 0,1

A função de transferência do controlador será então:

G c s = 12   1 + 1 0,4 s + 0,1 s

Resposta

G c s = 12   1 + 1 0,4 s + 0,1 s