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Exercícios Resolvidos de Métodos de Ziegler-Nichols

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Enunciado

Uma malha de controle de realimentação é representada pelo diagrama de blocos abaixo.

O ganho do processo é K = 2,5   % S T / % S C (porcentagem de saída do transmissor por porcentagem de saída do controlador) e as constantes de tempo são:

τ 1 = 5   m i n

τ 2 = 0,8   m i n

τ 3 = 0,2   m i n

Determine os parâmetros de sintonização do controlador para resposta de razão de decaimento de um quarto élo método de ganho final (ZN de malha fechada) para:

  1. Um controlador P
  2. Um controlador PI
  3. Um controlador PID

Passo 1

Para aplicar o método de ZN em malha fechada, é preciso determinar o ganho e período final do sistema. Para isso, usaremos o método da substituição direta.

A função de transferência dessa malha será:

Y s R s = G C G p 1 + G C G p

Onde G p é a função de transferência do processo (segundo bloco). O denominador dessa função de transferência é a nossa equação característica.

1 + G C G p = 0

Para fazer esse método, primeiramente consideramos o controlador como puramente proporcional e em seguida encontramos o ganho último pelo método da substituição direta:

G C = K C

G p = 2,5 5 s + 1 0,8 s + 1 0,2 s + 1

Portanto:

1 + 2,5 K C 5 s + 1 0,8 s + 1 0,2 s + 1 = 0

5 s + 1 0,8 s + 1 0,2 s + 1 + 2 , 5 K C = 0

0,8 s 3 + 5,16 s 2 + 6 s + 1 + 2,5 K C = 0

Passo 2

Vamos então aplicar o método da substituição direta:

s = i ω u

K C = K C u

0,8 i ω u 3 + 5,16 i ω u 2 + 6 i ω u + 1 + 2 , 5 K C u = 0

- 0,8 i ω u 3 - 5 , 16 ω u 2 + 6 i ω u + 1 + 2 , 5 K C u = 0

Devemos agora igualar tanto a parte real como a parte imaginária a 0 :

- 0,8 i ω u 3 + 6 i ω u = 0

- 5,16 ω u 2 + 1 + 2 , 5 K C u = 0

Da parte imaginária temos:

- 0,8 ω u 2 + 6 = 0

ω u = 7 , 5 = 2,74

Substituindo na parte real:

- 5,16 * 7,5 + 1 + 2 , 5 K C u = 0

K C u = 15,08

Além disso, sabendo que:

T u = 2 π ω u

T u = 2,30

Passo 3

Com os valores de K C u e T u calculados, é possível fazer a sintonia pelo método de ZN de malha fechada. Usaremos as correlações da tabela abaixo:

Primeiramente, vamos calcular os parâmetros para o controlador proporcional;

G C = K C

Pela tabela, teremos:

K C = 0,5 K C u = 0,5 * 15,08 = 7,54

G C = 7,54

Passo 4

Agora para o controlador PI:

G C = K C 1 + 1 τ i s

Pegando as correlações da tabela:

K C = 0,45 K C u = 0,45 * 15,08 = 6,79

τ i = T U 1,2 = 2,30 1,2 = 1,92

Portanto:

G C = 6,79 1 + 1 1,92 s

Passo 5

Por fim, vamos fazer o mesmo para o PID:

G C = K C 1 + 1 τ i s + τ d s

Olhando na última linha da tabela:

K C = 0,60 K C u = 0 60 * 15,08 = 9,05

τ i = T U 2 = 2,30 2 = 1,15

τ d = 0,125 T u = 0,125 * 2,30 = 0,29

Portanto:

G C = 9,05 1 + 1 1,15 s + 0,29 s

Resposta

  1. G C = 7,54
  2. G C = 6,79 1 + 1 1,92 s
  3. G C = 9,05 1 + 1 1,15 s + 0,29 s