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Exercícios Resolvidos de Métodos de Ziegler-Nichols

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Enunciado

Considere o sistema mostrado na figura abaixo:

Calcule os ajustes de um PID para esse sistema utilizando o método de Ziegler-Nichols de malha fechada.

Passo 1

Para aplicar o método de ZN em malha fechada, é preciso determinar o ganho e período final do sistema. Para isso, usaremos o método da substituição direta.

A função de transferência dessa malha será:

Y s R s = G C G p 1 + G C G p

Onde G p é a função de transferência do processo (segundo bloco). O denominador dessa função de transferência é a nossa equação característica.

1 + G C G p = 0

Para fazer esse método, primeiramente consideramos o controlador como puramente proporcional e em seguida encontramos o ganho último pelo método da substituição direta:

G C = K C

G p = 0,5 1 + 2 s 1 + s 1 + 0,5 s

Portanto:

1 + 0,5 K C 1 + 2 s 1 + s 1 + 0 , 5 s = 0

1 + 2 s 1 + s 1 + 0,5 s + 0 , 5 K C = 0

s 3 + 3,5 s 2 + 3,5 s + 1 + 0,5 K C = 0

Passo 2

Vamos então aplicar o método da substituição direta:

s = i ω u

K C = K C u

i ω u 3 + 3,5 i ω u 2 + 3,5 i ω u + 1 + 0,5 K C u = 0

- i ω u 3 - 3,5 ω u 2 + 3,5 i ω u + 1 + 0 , 5 K C u = 0

Devemos agora igualar tanto a parte real como a parte imaginária a 0 :

- i ω u 3 + 3,5 i ω u = 0

- 3,5 ω u 2 + 1 + 0 , 5 K C u = 0

Da parte imaginária temos:

- ω u 2 + 3,5 = 0

ω u = 3,5 = 1,87

Substituindo na parte real:

- 3,5 * 3,5 + 1 + 0 , 5 K C u = 0

K C u = 22,5

Além disso, sabendo que:

T u = 2 π ω u

T u = 3,36

Passo 3

Com os valores de K C u e T u calculados, é possível fazer a sintonia pelo método de ZN de malha fechada. Usaremos as correlações da tabela abaixo:

Como queremos um controlador PID, usaremos as correlações da última linha.

K C = 0,60 K C u = 0 , 60 * 22,5 = 13,5

τ i = T u 2 = 3,36 2 = 1,68

τ d = 0,125 T u = 0,125 * 3,36 = 0 , 42

Portanto, a função de transferência do controlador será:

G C s = 13,5 1 + 1 1,68 s + 0,4 2 s

Resposta

G C s = 13,5 1 + 1 1,68 s + 0,42 s