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Exercícios Resolvidos de Métodos de Ziegler-Nichols

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Enunciado

Um sistema tem a seguinte função de transferência em malha aberta:

G O L = 20 s + 1 s + 2 s + 5

Sintonize um controlador PI usando o método de decaimento ¼ de Ziegler-Nichols em malha fechada.

Passo 1

Para aplicar o método de ZN em malha fechada, é preciso determinar o ganho e período final do sistema. Para isso, usaremos o método da substituição direta.

Dada a função de transferência em malha aberta, a equação característica da malha fechada sera´:

1 + G C G O L = 0

Sendo que para aplicar o método, devemos considerar a princípio um controlador apenas proporcional:

G C = K C

Então:

1 + 20 K C s + 1 s + 2 s + 5 = 0

s + 1 s + 2 s + 5 + 20 K C = 0

s 3 + 8 s 2 + 17 s + 10 + 20 K C = 0

Passo 2

Vamos então aplicar o método da substituição direta:

s = i ω u

K C = K C u

i ω u 3 + 8 i ω u 2 + 17 i ω u + 10 + 20 K C u = 0

- i ω u 3 - 8 ω u 2 + 17 i ω u + 10 + 20 K C u = 0

Devemos agora igualar tanto a parte real como a parte imaginária a 0 :

- i ω u 3 + 17 i ω u = 0

- 8 ω u 2 + 10 + 20 K C u = 0

Da parte imaginária temos:

- ω u 2 + 17 = 0

ω u = 17 = 4,12

Substituindo na parte real:

- 8 * 17 + 10 + 20 K C u = 0

K C u = 6,3

Além disso, sabendo que:

T u = 2 π ω u

T u = 1,52

Passo 3

Com os valores de K C u e T u calculados, é possível fazer a sintonia pelo método de ZN de malha fechada. Usaremos as correlações da tabela abaixo:

Como queremos um controlador PI, usaremos as correlações da segunda linha.

K C = 0,45 K C u = 0,45 * 6,3 = 2,835

τ i = T u 2 = 1,52 2 = 0,76  

Portanto, a função de transferência do controlador será:

G C s = 2,835 1 + 1 0,76 s

Resposta

G C s = 2,835 1 + 1 0,76 s