Exercícios Resolvidos de MHS + Colisões

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Enunciado

Um bloco de 2,00 k g é unido a uma mola e colocado em uma superfície horizontal sem atrito. Uma força horizontal de 20 N é necessária para manter o bloco em repouso quando é puxado de 0,200   m de sua posição de equilíbrio. O bloco é liberado do repouso a partir deste ponto e realiza um movimento harmônico simples.

  1. Encontre a constante de força da mola e a frequência de oscilação.
  2. Determine a energia cinética máxima do bloco.
  3. Considere agora que o bloco esteja em repouso na sua posição de equilíbrio e um projétil de massa 0,10 k g com velocidade de 21 m / s atinge o bloco, como mostra a figura (a) abaixo. O projétil fica preso no bloco, como mostrado na figura (b), e o sistema bloco+projétil passa a oscilar num movimento harmônico simples. Determine a amplitude do MHS resultante.
  4. Se o projétil do item c) atingir o bloco quando este se encontra com velocidade nula na posição x = 0,20 m , qual será a nova amplitude do movimento?

Passo 1

Bora lá! Primeiramente temos um sistema massa-mola que começará a entrar em MHS, após ter sido afastado de 0,200   m da sua posição de equilíbrio. Queremos encontrar algumas informações sobre o MHS que ele realiza. Depois, vamos considerar que ocorre uma colisão entre esse bloco e um projétil que fica preso nele.

Passo 2

a)

Aqui queremos encontrar a constante de força da mola e a frequência de oscilação.

O enunciado te deu o x da mola e a força gerada por ela, então, para calcular a constante:

F = k x   → k = F x = 20 0,2 = 100   N / m

E a frequência angular é dada por:

ω = k m = 100 2 = 7,07   r a d / s

A frequência de oscilação será:

ω = 2 π f   → f = ω 2 π = 7,07 2 π = 1,13   H z

Passo 3

b)

A energia cinética máxima ocorre quando toda a energia mecânica é cinética. Ou seja:

E c = E M

E a energia mecânica máxima é dada por:

E M = k A 2 2

Onde A é a amplitude do movimento.

E qual a amplitude do movimento? Nesse caso, vale:

A = 0,200 m

Então:

E M = k A 2 2 = 100 . 0,2 2 2 = 2,0   J

Então:

E c m á x = 2,0   J

Passo 4

c)

Bom, galera, aqui vamos lembrar um pouco do que sabemos sobre colisões.

Como o sistema é isolado de forças externas, podemos dizer que o momento se conserva e então:

m v 1 = M + m v 2

Então:

v 2 = m v 1 M + m

Essa é a velocidade do conjunto corpo mais bloco.

Beleza, mas e aí? Não queremos isso. Queremos saber é qual a amplitude do MHS.

Basta a gente lembrar que a energia cinética máxima é igual a k A 2 2 , então:

k A 2 2 = ( m + M ) v 2 2 2

Calculando v 2 :

v 2 = m v 1 M + m = 0,1.21 2,00 + 0,1 = 1   m / s

Então, usando a equação anterior:

100 A 2 2 = 2,1.1 2 2

A 2 = 2,1 100 → A = 2,1 100 = 0,145   m

Passo 5

d)

Após o choque, a velocidade continua a mesma que a do item c), só que agora temos também energia potencial. Então:

E M = E C + E P

k A 2 2 = m + M v 2 2 + k x 2 2

100 . A 2 2 = 2,1 . 1 2 2 + 100 . 0,2 2 2

A 2 = 2,1 + 4 100 → A = 6,1 100 ≅ 0,25 m

Resposta

a)

k = 100   N / m

f = 1,13   H z

b)

E c m á x = 2,0   J

c)

A = 0,145   m

d)

A ≅ 0,25 m

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