Exercícios Resolvidos de MHS + Colisões

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Enunciado

A figura abaixo mostra o bloco 1, de massa 0,200   k g , deslizando para a direta, sobre uma superfície elevada, com uma velocidade de 8,00   m / s. O bloco sofre uma colisão elástica com o bloco 2, inicialmente em repouso, que está preso a uma mola de constante elástica 1208,5   N / m .   (Suponha que a mola não afete a colisão.) Após a colisão, o bloco 2 inicia um MHS com um período de 0,140   s e o bloco 1 desliza para fora da extremidade oposta da superfície elevada, indo cair a uma distância horizontal de d dessa superfície, depois de descer uma distância de h = 4,90   m . Qual é o valor de d ?

Passo 1

Bom, primeiro vamos dar uma resumida nesse enunciado aí! =p

De início, temos uma colisão elástica entre as massas 1 e 2, ambas sobre a superfície elevada. Depois disso, a massa 2 entra em MHS, enquanto a massa 1 cai da superfície elevada, percorrendo uma distancia horizontal d , que é o que queremos achar.

Passo 2

Como o enunciado disse que a mola não afeta a colisão, nós podemos usar as fórmulas que nos dão as velocidades em uma colisão elástica.

Porém, antes disso, vamos achar a massa do bloco 2.

Como temos a frequência com que ele oscila após a colisão a e constante da mola, podemos fazer:

ω = k m → m 2 = k ω 2

Só basta a gente calcular ω :

ω = 2 π T = 2 π 0,14 = 44,8   r a d / s

Assim:

m 2 = 1208,5 44,8 2 ≅ 0,60   k g

Passo 3

Agora vamos escrever a equação da conservação do momento pra essa colisão:

m 1 v 1 = - m 1 v 1 ' + m 2 v 2

Além dessa, temos a equação da conservação da energia:

m 1 v 1 2 2 = m 1 v 1 2 ' 2 + m 2 v 2 2 2

m 1 v 1 2 = m 1 v 1 2 ' + m 2 v 2 2

Show?? Temos duas incógnitas ali: v 2 e   v 1 ' (velocidades dos blocos após a colisão).

Vamos resolver o sistema acima, isolando v 2 na primeira equação e substituindo na segunda

m 1 v 1 = - m 1 v 1 ' + m 2 v 2

v 2 = m 1 v 1 + v 1 ' m 2

Assim, na segunda equação fica

m 1 v 1 2 = m 1 v 1 2 ' + m 2 m 1 v 1 + v 1 ' m 2 2

Agora, vamos fazer as contas e achar v 1 ' . Podemos já substituir v 1 = 8 e os valores das massas, também.

12,8 = 0,2 v 1 2 ' + 0,04 8 + v 1 ' 2 0,6

12,8 = 0,2 v 1 2 ' + 1 15 8 + v 1 ' 2

Abrindo esse produto notável

12,8 = 0,2 v 1 2 ' + 1 15 64 + 16 v 1 ' + v 1 ' 2

12,8 = 0,2 v 1 2 ' + 4,267 + 1,067 v 1 ' + 0,067 v 1 ' 2

Chegando na equação

0,2 67 v 1 2 ' + 1,067 v 1 ' - 8,533 = 0

Temos as duas raízes v 1 ' = 4 e v 1 ' = - 8 . Mas se v 1 ' valesse - 8   m / s , isso implicaria que o bloco 2 teria uma velocidade nula, o que sabemos, pelo enunciado, que não é verdade.

Excluindo a raiz negativa, encontramos pra v 1 ' :

v 1 ' = 4,00   m / s

Passo 4

Agora é só cinemática!!!! Essa velocidade, 4,0   m / s , vai ser a velocidade do bloquinho 1 após a colisão. Como ele vai cair da mesa, essa vai ser a velocidade inicial do lançamento oblíquo.

Então, pra achar o alcance, vamos usar:

d = v 0 t q

Onde t q é o tempo de queda. E como se calcula ele mesmo? Lembrando das fórmulas de lançamento oblíquo, a gente pode escrever:

t q = 2 H g

Aplicando o valor da altura do enunciado:

t q = 2.4,9 9,8 = 1 s

Assim:

d = 4,00 . 1 = 4,00   m

Resposta

d = 4,00   m

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