Exercícios Resolvidos de MHS + Colisões

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Enunciado

Um corpo de massa M = 600   g colide com uma plataforma de massa m = 200   g , inicialmente em repouso e presa a uma mola de constante k = 0,8   N / m   e massa desprezível (a outra extremidade da mola mantém-se presa a uma parede). No momento da colisão, a mola está relaxada e a velocidade do corpo é v = 1   m / s . O sistema está imerso em um fluido com constante de amortecimento p = 1,6   k g / s .

Se a colisão entre o corpo e a plataforma for completamente inelástica, determine:

  1. A frequência natural de oscilação do sistema na ausência de amortecimento.
  2. O regime de oscilação amortecida.
  3. A velocidade do corpo no instante logo após a colisão.
  4. A posição do corpo em função do tempo x ( t ) (considere x = 0 a posição de equilíbrio e t = 0 o instante logo após a colisão).

Passo 1

a):

Como o corpo vai colar na mola, eles vão passar a ser um corpo só. Assim, a frequência natural pode ser calculada como:

ω 0 = k m T

E a massa total é:

m T = M + m = 0,6 + 0,2 = 0,8 k g

Então:

ω 0 = 0,8 0,8 = 1 = 1   r a d / s

Passo 2

b):

Aqui ele tá querendo saber se o regime é crítico, subcrítico ou supercrítico. Uma boa forma é comparar γ 2 com ω 0 .

O enunciado te deu ρ e a massa total. Pra calcular γ :

γ = ρ m = 1,6 0,8 = 2   s - 1

Como:

γ 2 = 1 = ω 0

A gente conclui que esse regime é o crítico.

Passo 3

c):

Bom, aqui a gente precisa lembrar daquele conceito de mecânica: conservação de momento.

Já que é uma colisão, o momento se conserva, e como é uma colisão totalmente inelástica, os corpos permanecem juntos ao fim da colisão. Podemos calcular assim:

m v = M + m v f

0,6 . 1 = 0,8 v f → v f = 3 4 = 0,7 5   m / s

Passo 4

d):

A solução geral para o caso critico é assim:

x t = e - γ 2 t a + b t

x ˙ t = e - γ t 2 - γ 2 a + b t + b

Vamos às condições inicias:

x 0 = 0   → a = 0

x ˙ 0 = v i = 0,75   m / s → b = 3 4   m / s

Então:

x t = 3 4 t e - t

Resposta

a):

ω 0 = 1   r a d / s

b):

Crítico

c):

v f = 0,7 5   m / s

d):

x t = 3 4 t e - t

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