Exercícios Resolvidos de MHS + Colisões

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Enunciado

Considere dois pêndulos simples, de mesmo comprimento l, presos a um mesmo ponto como mostra a figura. A partícula de massa m 1 é solta do repouso a uma altura z em relação à posição de equilíbrio e atinge a partícula de massa m 2 em t = 0 s. Anteriormente, a partícula de massa m 2 estava em repouso, na posição de equilíbrio. Após a colisão as duas partículas permanecem juntas.

Considerando que a aceleração da gravidade g é conhecida e que, tanto antes quanto depois da colisão, vale a aproximação de pequenos ângulos para ambos os pêndulos, a amplitude θ 0 do movimento pode ser escrita como:

(a) θ 0 = 2 z l

(b) θ 0 = m 1 m 1 + m 2 z l

(c) θ 0 = m 1 m 1 + m 2 2 z l

(d) θ 0 = m 1 m 1 + m 2 2 g z l 2

(e) θ 0 = 2 g z l 2

Passo 1

Primeiro vamos achar a velocidade da massa 1 logo antes do choque. Vamos fazer conservação de energia mecânica!

m 1 g z = m 1 v 1 2 2

v 1 = 2 g z

Passo 2

Agora vamos achar a velocidade das duas massas depois do choque. Vamos usar conservação do momento linear!

m 1 v 1 = ( m 1 + m 2 ) v D

v D = m 1 v 1 m 1 + m 2

v D = m 1 2 g z m 1 + m 2

Passo 3

Você lembra que no pêndulo simples:

ω 0 = g / l

E no MHS:

ω 0 = k / m

Então no pêndulo simples:

k / m = g / l

k m = g l

k = m g l

Por que eu to te dizendo isso? Porque isso vai nos ajudar a relacionar a energia mecânica com a frequência angular do pêndulo simples!

Lembra que no MHS a energia mecânica é constante? Essa constante é:

M = k x m 2 2

Mas aqui, como nossos deslocamentos são angulares e não lineares, teremos que usar ângulos! Então:

M = k θ 0 2 2

E vamos trocar k pelo que achamos antes:

M = m g l θ 0 2 2

Passo 4

Show! Logo após o choque, quando as massas estiverem na velocidade v D que a gente calculou a velocidade vai ser máxima! Porque a energia potencial vai ser mínima. Então na velocidade v D a energia cinética vai ser igual a energia mecânica!

Só que aqui, como a gente tem ângulos, vamos usar uma fórmula diferente pra energia cinética. Vai ser:

C = ( m 1 + m 2 ) 2 v l 2

Porque em vez da velocidade v a gente tá usando a velocidade ANGULAR, que é v l .

Vamos igualar:

M = C

m 1 + m 2 g l θ 0 2 2 = ( m 1 + m 2 ) 2 v D l 2

g θ 0 2 l = v D l 2

θ 0 2 = v D 2 g l

θ 0 = v D g l

Passo 5

Vamos trocar o valor de v D :

θ 0 = 1 g l × m 1 2 g z m 1 + m 2

θ 0 = m 1 m 1 + m 2 2 z l

Resposta

Letra C.

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