Exercícios Resolvidos de MHS + Colisões

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Enunciado

Um bloco de massa M , em repouso numa mesa horizontal sem atrito, é ligado a um suporte rígido por duas molas de constante elástica k 1 e k 2 . Uma bala de massa m e velocidade v atinge o bloco como mostrado na figura abaixo.

Este sistema de duas molas da figura acima é equivalente a um sistema composto por apenas uma mola cuja constante elástica vale: k e f = k 1 + k 2

  1. Deduza a expressão k e f = k 1 + k 2 .
  2. Considere k 1 = k 2 / 2 e determine em função de M , m , v e k 1 :

  3. A velocidade do bloco imediatamente após a colisão.
  4. A amplitude do movimento harmônico simples.

Passo 1

a):

Vamos deduzir partindo da força resultante que as duas molas fazem sobre o bloco:

F R = F 1 + F 2

Sendo:

F 1 = k 1 x 1

F 2 = k 2 x 2

F R = k e f x e f

Logo:

k e f x e f = k 1 x 1 + k 2 x 2

Beleza! Mas será que existe uma relação entre os " x" s?

Bom, como o bloco não tomba nem vai se deslocar torto, o deslocamento de cada mola deve ser igual! Vamos dar uma olhada na figura:

Caso x 1 > x 2 a caixa tombaria pra frente, por exemplo. Logo:

x 1 = x 2 = x e f = x

O deslocamento da força resultante também deve ser igual. Isso acontece por que o significado da associação de molas nos diz que as duas molas poderiam ser substituídas por uma única mola cuja constante é a constante resultante.

E qual seria o deslocamento dessa mola? Fica claro que deveria ser o mesmo que o das duas molas, não é?

Logo:

k e f x e f = k 1 x 1 + k 2 x 2

k e f x = k 1 x + k 2 x

k e f = k 1 + k 2

Passo 2

b):

Vamos resolver essa parte usando a conservação de momento do sistema. O momento se conserva já que se trata de uma colisão.(:

Antes da colisão, a bala tinha velocidade v e o bloco tinha velocidade nula, logo, o momento inicial é:

Q i = m v + M . 0 = m v

Após a colisão, tanto o bloco quanto a bala se deslocam com a mesma velocidade v 2 :

M v 2 + m v 2 = Q f

Como Q i = Q f :

v 2 M + m = m v

v 2 = m v M + m

E essa é a velocidade do bloco logo após a colisão!

Passo 3

c):

Aqui você poderia pensar: Vamos procurar uma EDO que descreva o sistema, calcular a sua solução e daí tirar a amplitude do movimento.

Não! Vamos fazer de um jeito mais simples: Por conservação de energia mecânica.

Vamos considerar como o início do movimento o momento que a bala atinge o bloco. Nesse momento, a mola ainda não se comprimiu, logo, a energia mecânica é só a energia cinética recém adquirida pela colisão da bala:

E M i = M v 2 2 2 = M 2 . m v M + m 2

Bom, e depois? Depois disso, o bloco vai comprimir a mola pouco a pouco, até que essa atinja é uma compressão máxima. Essa compressão máxima será, como você deve estar pensando, a amplitude do movimento: A .

Logo, no fim, a energia mecânica vai ser puramente energia potencial elástica:

k A 2 2 = E M f = k e f A 2 2

Sendo k e f = k 1 + k 2 = k 1 + 2 k 1 = 3 k 1 .

Bom, e como a energia se conserva, a energia mecânica inicial será igual à energia mecânica final:

E M i = E M f

3 k 1 2 A 2 = M 2 . m v M + m 2

A = M 3 k 1 . m v M + m

Pronto (:.

Resposta

a):

Demonstração.

b):

v 2 = m v M + m

c):

A = M 3 k 1 . m v M + m

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