Exercícios Resolvidos de Modelos em variáveis de estado

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Enunciado

Considere-se o caso de duas massas conectadas como mostrado na figura abaixo. O atrito de deslizamento de cada massa tem constante b . Determinar a equação diferencial de estado na forma matricial.

Passo 1

Vamos escrever a equação de equilíbrio de forças para amabs as massas. Para a primeira:

m d 2 x d t 2 + k x + k 1 x - q + b d x d t = 0

Analogamente para a segunda:

m d 2 q d t 2 + k q + k 1 q - x + b d q d t = 0

Se você tover dúvida em como chegar nessas equações, seria legal dar uma revisada no conteúdo de modelos mecânicos.

Passo 2

Temos duas equações de segunda ordem, ou seja, precisamos de quatro variáveis de estado. Vamos definir a posição e a velocidade de cada uma das massas como sendo as nossas variáveis de estado:

x = x 1 , x 2 , x 3 , x 4 = x , d x d t , q , d q d t

Substituindo nas equaçõs acima:

m d x 2 d t + k x 1 + k 1 x 1 - x 3 + b x 2 = 0                 ( 1 )

m d x 4 d t + k x 3 + k 1 x 3 - x 1 + b x 4 = 0                       ( 2 )

Passo 3

Para escrever a equação diferencial de estado na forma matricial precisamos determinar o nosso vetor x ˙ .

Como a velocidade é a derivada da posição, já sabemos que:

d x 1 d t = x 2                 ( 3 )

d x 3 d t = x 4                 ( 4 )

E, a paritr das equações ( 1 ) e ( 2 ) , temos:

d x 2 d t = - k + k 1 m x 1 - b m x 2 + k 1 m x 3                   ( 5 )

d x 4 d t = k 1 m x 1 - k 1 + k m x 3 - b m x 4               ( 6 )

Passo 4

A partir das equações ( 3 ) , ( 4 ) , ( 5 ) e ( 6 ) podemos montar nossa equação matricial:

x ˙ = 0 1 0 0 - k + k 1 m - b m k 1 m 0 0 0 0 1 k 1 m 0 - k + k 1 m - b m x

Resposta

x ˙ = 0 1 0 0 - k + k 1 m - b m k 1 m 0 0 0 0 1 k 1 m 0 - k + k 1 m - b m x