Exercícios Resolvidos de Modelos em variáveis de estado

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Enunciado

Um sistema de acionamento do braço de um robô para uma junta de articulação pode ser representado pela equação diferencial abaixo:

d v t d t = - k 1 v t - k 2 y t + k 3 i ( t )

Onde v ( t ) é a velocidade, y ( t ) é a posição e i ( t ) é a corrente do motor de controle. Expressar a equação na forma de variáveis de estado e configurar a forma matricial para k 1 = k 2 = 1 .

Passo 1

Precisamos escrever a equação diferencial no modelo de variáveis de estado. A equação em questão é:

d v t d t = - k 1 v t - k 2 y t + k 3 i ( t )

E como a velocidade é a derivada do espaço:

d y t d t = v ( t )

Temos então duas equações de ordem 1, logo, precisamos definir duas variáveis de estado x = ( x 1 ,   x 2 ) .

Vamos definir a própria velocidade e posição como sendo nossas variáveis de estado:

x 1 = y ( t )

x 2 = v ( t )

E vamos definir a corrente do motor de controle como sendo a entrada:

u t = i ( t )

Passo 2

Para escrever a EDO em um modelo de estado, precisamos escrever a equação diferencial do vetor de estado que tem a seguinte forma:

x ˙ = A x + B u

Sendo assim, precisamos encontrar uma expressão para as derivadas das nossas variáveis de estado. Para x 1 (posição) é mais fácil porque a derivada da posição é a velocidade ( x 2 ):

x ˙ 1 = x 2

Para encontrar uma expressão para x 2 ˙ , vamos substituir as variáveis de estado na EDO:

x 2 ˙ = - k 1 x 2 - k 2 x 1 + k 3 u

Sendo assim, a nossa equação diferencial do vetor do estado ficará:

x ˙ = 0 1 - k 2 - k 1 x + 0 k 3 u

Passo 3

Assumindo k 1 = k 2 = 1 , teremos:

x ˙ = 0 1 - 1 - 1 x + 0 k 3 u ( t )

Resposta

x ˙ = 0 1 - 1 - 1 x + 0 k 3 u ( t )