Exercícios Resolvidos de Modelos em variáveis de estado

Ver Teoria

Enunciado

Determine a equação diferencial matricial em variáveis de estado para o circuito abaixo. Fazer x 1 = i 1 , x 2 = i 2 e x 3 = v

Passo 1

O primeiro passo é escrever as EDO’ que governam o sistema.

Para encontrar essas EDO’s, vamos usar a lei das malhas. Vamos escrever uma equação para a malha onde passa a corrente i 1 e outra para onde passa a corrente i 2 :

v a = R i 1 + L 1 d i 1 d t + v                 ( 1 )

v b = L 2 d i 2 d t + v                                       ( 2 )

Além disso, também sabemos que a corrente que passa no capacitor é igual à soma das correntes i 1 e i 2 :

i C = i 1 + i 2 = C d v d t                         ( 3 )

Passo 2

Para escrever a equação diferencial matricial em um modelo de estado, precisamos escrever a equação diferencial do vetor de estado que tem a seguinte forma:

x ˙ = A x + B u

Como temos três EDO’s de primeira ordem, precisamos de três variáveis de estado. Para nossa sorte, o enunciado já determinou qual será o nosso vetor de variáveis de estado:

x = x 1 , x 2 , x 3 = ( i 1 , i 2 , v )

Além disso, para esse circuito, temos duas entradas:

u = u 1 , u 2 = ( v a , v b )

Vamos substituir tudo isso nas equaões ( 1 ) , ( 2 ) e ( 3 ) :

u 1 = R x 1 + L 1 d x 1 d t + x 3             ( 4 )

u 2 = L 2 d x 2 d t + x 3                                     ( 5 )

x 1 + x 2 = C d x 3 d t                                       ( 6 )

Passo 3

Para escrever a equação diferencial em variáveis de estado na forma matricial, precisamos encontrar o vetor x ˙ .

Rearranjando as equações ( 4 ) , 5 e ( 6 ) :

d x 1 d t = - R L 1 x 1 - 1 L 1 x 3 + 1 L 1 u 1               ( 7 )

d x 2 d t = - 1 L 2 x 3 + 1 L 2 u 2                                                     ( 8 )

d x 3 d t = 1 C x 1 + 1 C x 2                                                             ( 9 )

Passo 4

Com as equações ( 7 ) , ( 8 ) e ( 9 ) , podemos obter nosso vetor x ˙ e assim, escrever a equação diferencial em variáveis de estado na forma matricial.

x ˙ = A x + B u

x ˙ = - R L 1 0 - 1 L 1 0 0 - 1 L 2 1 C 1 C 0 x + 1 L 1 0 0 1 L 2 0 0 u

Resposta

x ˙ = - R L 1 0 - 1 L 1 0 0 - 1 L 2 1 C 1 C 0 x + 1 L 1 0 0 1 L 2 0 0 u