Exercícios Resolvidos de Modelos em variáveis de estado

Richard C. Dorf, Sistemas de Controle Modernos, 8ª ed., LTC, Rio de Janeiro, 2001, E3.4, pag 128

Obtenha a forma matricial de variáveis de estado com variáveis de fase para um sistema com equação diferencial:

2 d y 3 d t 3 + 4 d y 2 d t 2 + 6 d y d t + 8 y = 10   u ( t )

Passo 1

O primeiro passo é sempre montar definir o nosso conjunto de variáveis de estado.

O número de variáveis de estado é igual ao npumero de equações diferenciais vezes a ordem dessas equações. Nesse caso temos uma EDO de terceira ordem, então precisamos de três variáveis de estado, x = ( x 1 ,   x 2 , x 3 ) .

Vamos arbitrar:

x 1 = y

x 2 = d y d t

x 3 = d 2 y d t 2

Vamos substituir as variáveis de estado na EDO:

2 x 3 ˙ + 4 x 3 + 6 x 2 + 8 x 1 = 10   u ( t )

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Para escrever a EDO em um modelo de estado, precisamos escrever a equação diferencial do vetor de estado que tem a seguinte forma:

x ˙ = A x + B u

Sendo assim, precisamos encontrar uma expressão para as derivadas das nossas variáveis de estado.

Pela definição das variáveis de estado, podemos afirmar que:

x ˙ 1 = x 2

E

x ˙ 2 = x 3

Para encontrar a expressão de x ˙ 3 , vamos rearranjar a nossa EDO:

2 x 3 ˙ + 4 x 3 + 6 x 2 + 8 x 1 = 10   u ( t )

x ˙ 3 = - 4 x 1 - 3 x 2 - 2 x 3 + 5 u

Passo 3

Como já temos o nosso vetor x ˙ , já podemos escrever a equação diferencial do vetor de estado:

x ˙ = 0 1 0 0 0 1 - 4 - 3 - 2 x + 0 0 5   u

Resposta

x ˙ = 0 1 0 0 0 1 - 4 - 3 - 2 x + 0 0 5   u

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