Exercícios Resolvidos de Modelos em variáveis de estado

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Enunciado

Dois carros com atrito de rolamento insignificante são conectados como mostrado na figura abaixo. A força de entrada é u ( t ) . Determina a equação diferencial em variáveis de estado na forma matricial.

Passo 1

Vamos escrever a equação de equilíbrio de forças para amabs as massas. Para a primeira:

m 1 d 2 x d t 2 + k 1 x - q + b 1 d x d t - d q d t = u ( t )

Analogamente para a segunda:

m 2 d 2 q d t 2 + k 1 q - x + k 2 q + b 1 d q d t - d x d t + b 2 d q d t = 0

Se você tover dúvida em como chegar nessas equações, seria legal dar uma revisada no conteúdo de modelos mecânicos.

Passo 2

Temos duas equações de segunda ordem, ou seja, precisamos de quatro variáveis de estado. Vamos definir a posição e a velocidade de cada uma das massas como sendo as nossas variáveis de estado:

x = x 1 , x 2 , x 3 , x 4 = x , d x d t , q , d q d t

Substituindo nas equaçõs acima:

m 1 d x 2 d t + k 1 x 1 - x 3 + b 1 x 2 - x 4 = u ( t )                 ( 1 )

m 2 d x 4 d t + k 1 x 3 - x 1 + k 2 x 3 + b 1 x 4 - x 2 + b 2 x 4 = 0                       ( 2 )

Passo 3

Para escrever a equação diferencial de estado na forma matricial precisamos determinar o nosso vetor x ˙ .

Como a velocidade é a derivada da posição, já sabemos que:

d x 1 d t = x 2                 ( 3 )

d x 3 d t = x 4                 ( 4 )

Vamos rearranjar as equações ( 1 ) e ( 2 ) para enxontrar x 2 ˙ e x 4 ˙ .

Rearranjando ( 1 ) :

d x 2 d t = - k 1 m 1 x 1 - x 3 - b 1 m 1 x 2 - x 4 + 1 m 1 u ( t )

d x 2 d t = - k 1 m 1 x 1 - b 1 m 1 x 2 + k 1 m 1 x 3 + b 1 m 1 x 4 + 1 m 1 u t                     ( 5 )

Rearranjando (2):

d x 4 d t = - k 1 m 2 x 3 - x 1 - k 2 m 2 x 3 - b 1 m 2 x 4 - x 2 - b 2 m 2 x 4 = 0

d x 4 d t = k 1 m 2 x 1 + b 1 m 2 x 2 - k 1 + k 2 m 2 x 3 - b 1 + b 2 m 2 x 4                       ( 6 )

Passo 4

A partir das equações ( 3 ) , ( 4 ) , ( 5 ) e ( 6 ) podemos montar nossa equação matricial:

x ˙ = 0 1 0 0 - k 1 m 1 - b 1 m 1 k 1 m 1 b 1 m 1 0 0 0 1 k 1 m 2 b 1 m 2 - k 1 + k 2 m 2 - b 1 + b 2 m 2 x + 0 1 m 1 0 0 u ( t )

Resposta

x ˙ = 0 1 0 0 - k 1 m 1 - b 1 m 1 k 1 m 1 b 1 m 1 0 0 0 1 k 1 m 2 b 1 m 2 - k 1 + k 2 m 2 - b 1 + b 2 m 2 x + 0 1 m 1 0 0 u ( t )