Exercícios Resolvidos de Movimento Restrito

J.L. Meriam & L.G. Kraige, Mecânica para engenharia, Dinâmica, 6° ed. RJ: LTC, 2009, 78, 2/228

Os anéis A e B deslizam ao longo das hastes fixas em ângulo reto e estão conectados por um fio de comprimento L . Determine a aceleração a x do anel B em função de y se o anel A possui uma velocidade contante para cima v A .

Passo 1

O sistema pode ser simplificado na seguinte figura:

E quem é v A ? v A é dado por:

v A = y ˙  

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

x , y tem que satisfazer a seguinte equação:

x 2 + y 2 = L 2

Derivando em relação ao tempo:

2 x x ˙ + 2 y y ˙ = 0

E aí temos as relações das velocidades. Só que nós queremos a aceleração, né? Então, vamos derivar mais uma vez:

2 x ˙ ( x ˙ ) + 2 x ( x ¨ ) + 2 y ˙ ( y ˙ ) + 2 y ( y ¨ ) = 0

Sacou? Usamos a regra do produto. Simplificando:

2 x ˙ 2 + 2 x ( x ¨ ) + 2 y ˙ 2 + 2 y ( y ) ¨ = 0

Só que:

y ¨ = a y = 0

Por que? Porque o enunciado disse que a velocidade do anel A é constante, assim a sua aceleração é nula.

E:

y ˙ = v A

Então:

2 x ˙ 2 + 2 x ( x ) ¨ + 2 v A 2 = 0

x ˙ 2 + x ( x ¨ ) + v A 2 = 0

E quanto vale x ˙ ? Podemos descobrir usando a primeira relação:

2 x x ˙ + 2 y y ˙ = 0

∴  

x ˙ = - y x y ˙ = - y x v A

Passo 3

Assim:

x ˙ 2 + x ( x ¨ ) + v A 2 = 0

Então:

- y x v A 2 + x ( x ¨ ) + v A 2 = 0

v A 2 y 2 x 2 + 1 + x . x ¨ = 0

∴  

v A 2 y 2 + x 2 x 2 + x . x ¨ = 0

∴  

x ¨ = - v A 2 y 2 + x 2 x 3

Só que: x 2 + y 2 = L 2   :

x ¨ = - L 2 x 3 v A 2  

Passo 4

a x = x ¨ = - L 2 x 3 v A 2  

Beleza, estamos quase lá.

Lembrando que:

L 2 = x 2 + y 2

x 2 = L 2 - y 2   → x = L 2 - y 2 1 2

Assim:

a x = - L 2 L 2 - y 2 3 2 v A 2

Resposta

a x = - L 2 L 2 - y 2 3 2 v A 2

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