Exercícios Resolvidos de Números Quânticos e Funções de Onda

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Enunciado

Calcular a energia em joules, o comprimento de onda em metros e o número de onda em metros-1 de uma linha espectral produzida no espectro de hidrogênio quando um elétron decai da 4ª órbita de Bohr para a 1ª. Indique ainda a qual região do espectro eletromagnético pertence esta linha.

Passo 1

Por Bohr, a energia de cada camada é dada por:

E =   - h . c . R .   1 n 2

E =   - A .   1 n 2 ,   o n d e   A = h . c . R

Então, para calcular a diferença de energia entre duas camadas, vamos fazer assim:

∆ E = E f - E i =   - A .   1 n f 2 - - A . 1 n i 2

∆ E =   - A . 1 n f 2 + A . 1 n i 2

∆ E =   A . 1 n i 2 - 1 n f 2 = A   . 1 n 1 2 - 1 n 2 2

Pelo enunciado, a gente vê que o elétron está pulando do n = 4 para o n = 1 . E a gente sabe que o valor da constante A é igual a:

A = h . c . R

A = 6,626 . 10 - 34 . 3 . 10 8 . 1,10 . 10 7

A = 2,18 . 10 - 18 J

Então vamos calcular a diferença de energia.

Passo 2

Para calcular a diferença de energia entre os níveis, então:

∆ E = A   . 1 n 1 2 - 1 n 2 2 = 2,18 . 10 - 18   .   1 1 2 - 1 4 2 = 2,04 . 10 - 18   J

Como o elétron saltou de uma camada maix externa para uma mais interna a gente vai dizer que ele emitiu 2,04.10-18 J. Poque pra pular pra uma camada mais externa ele absorve energia e pra uma mais interna ele emite.

Beleza. E o comprimento de onda?

Passo 3

A gente viu que o elétron absorve e emite radiação através de fótons cuja energia é dada por:

E = h . ν

E nessa fórmula aí de cima a gente sabe que h é a constante de Planck (6,626.10-34 J.s) e acabamos de calcular que a energia é 2,04.10-18 J.

Bora calcular a frequência ν então:

2,04 . 10 - 18 = 6,626 . 10 - 34 . ν

ν =   2,04 . 10 - 18 6,626 . 10 - 34 = 3,08 . 10 15 s - 1

Aquela unidade ali não é só porque a gente quer que seja não. Você pode e deve conferir as unidades de todo mundo aí de cima. Mas como todas as grandezas estão no SI, nossa resposta também tá no SI. É sempre bom trocar todas as unidades pro SI antes de jogar na fórmula!

Ainda temos que transformar aquela frequência em comprimento de onda.

Faz alguns capítulos que não fazemos isso né? Mas ainda é assim que se faz:

c =   λ   . ν

3 . 10 8 =   λ   .   3,08 . 10 15

λ = 3.1 0 8 3,08 . 10 15 = 9,74 . 10 - 8   m = 97,4   n m

E 9,74.10-8 é o comprimento de onda em metros (como pedido) produzido no espectro devido ao pulo eletrônico.

Passo 4

Lembra como calcular número de onda? A unidade é uma dica e tanto!

Ela é o inverso do comprimento de onda e significa “quantas ondas a gente encontra em uma unidade de comprimento”, no caso o metro, porque o enunciado pediu assim. Vamos ver:

ν - =   1 λ =   1 9,74 . 10 - 8 = 1,03.1 0 7   m - 1

E o número de onda calculado é igual a 1,03.107 por metro!

Passo 5

A gente já cansou, mas o enunciado ainda pergunta em qual região do espectro esse comprimento cai.

Você pode:

  • lembrar que quando n 1 = 1 a série do hidrogênio era de Lyman e a região é do UV.
  • decorar que o visível vai de 400 nm (violeta) até 750 nm (vermelho) e ver que como esse comprimento de onda é menor que 400 nm ele cai no UV.
  • olhar no espectro aí de baixo e ver que 9,74.10-8 m está no UV.

Resposta

E = 2,04 . 10 - 18   J .

λ = 9,74 . 10 - 8   m .

ν - = 1,03.1 0 7   m - 1 .

Região do ultravioleta.

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