Exercícios Resolvidos de Números Quânticos e Funções de Onda

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Enunciado

  1. Faça um desenho da superfície-limite que corresponde aos orbitais 1s, 2p e 3d.
  2. O que se entende por um nodo?
  3. Quantos nodos radiais e superfícies nodais angulares tem cada orbital?
  4. Prediga quantos planos nodais são esperados para um orbital 4f.

Passo 1

  1. A gente tem uma ideia de como essas superfícies limites são. Como o enunciado não explicita sobre quais eixos devemos desenhar, vamos fazer sobre qualquer um. É legal desenhar o 3d maior que o 2p, e o 2p maior que o 1s porque, como a gente comentou, o número quântico principal dá uma ideia do tamanho dos orbitais. Valeu?
  2. E aí estão os desenhos do 1s, 2p e 3d, respectivamente.

    Passo 2

  3. Nodo é o ponto onda a função de onda (orbital) muda de fase.
  4. Isso basta!

    Mas pra você entender um pouquinho melhor:

    Lembra que o orbital nada mais é do que uma função matemática? Nem todas as funções matemáticas servem como função de onda. As funções de onda geralmente contém um “ s e n ”, um “ c o s " ou outra função trigonométrica, que faça com que ela oscile, como uma onda.

    Vamos olhar a função seno abaixo:

    f x = s e n   x

    Cada vez que ela passa do positivo para o negativo ou do negativo para o positivo, dizemos que ela está mudando de fase.

    A função seno acima muda de fase nos pontos x = π ,   2 π ,   4 π . . e cada um desses pontos é chamado um nodo.

    E lembra que a probabilidade de encontrar o elétron é igual ao quadrado dessa função?

    Se a gente pegar a função aí de cima e elevar ao quadrado, todos os pontos negativos vão virar positivos (porque o quadrado de qualquer número é um número positivo).

    Mas os pontos onde ela é zero, vão seguir sendo zero!

    Pra um orbital, pra qualquer ponto onde a função de onda tiver valor zero, o quadrado dela também vai ser zero. E nesse ponto a probabilidade de encontrar o elétron é nula. Isso é o nodo!

    Passo 3

  5. Primeiro vamos definir o que é um nodo radial e o que é uma superfície nodal angular.
  6. A gente já viu que no nodo, a probabilidade de encontrar o elétron é nula. Mas a probabilidade igual a zero não fica em um único ponto. O orbital tem três dimensões! A probabilidade zero de encontrar o elétron se estende por uma superfície!

    No orbital p, por exemplo, toda a superfície entre as duas esferas achatadas tem probabilidade zero de encontrar o elétron. Então para x=0 (todo o plano delimitado pelo eixos z e y) temos uma superfície nodal.

    Agora, olhando para o orbital 2s, não existem planos nodais. No entanto, a gente calcula o número de nós (ou nodos) por n - 1 . Como, para o 2s, n = 2 , então temos um nó. Onde ele está? Lá dentro!

    Em orbitais s, o nodo é definido por um determinado raio em relação ao núcleo. Ou seja, existe toda uma casca esférica delimitada por um certo raio de distância do núcleo onde a probabilidade de encontrar o elétron é nula.

    Quando o nó é caracterizada por um raio fixo, chamamos de nodo radial.

    Quando o nó não tem uma distância fixa do núcleo, existe um ângulo que é fixo (no nosso desenho é o ângulo do plano em relação ao eixo x, que é sempre de 90°) e temos uma superfície nodal angular (muitas vezes formando um plano).

    Agora vamos falar de quantidade:

    O número de superfícies nodais angulares é igual a l . Ou seja: orbitais s não possuem superfícies nodais angulares, orbitais do tipo p possuem 1, e assim por diante.

    Como o número de nós é igual a n - 1 , o número de nós radiais vai ser dado pela diferença entre o número total de nós ( n - 1 ) e o número de nós angulares ( l ).

    Por exemplo:

    3d: número de nós angulares: l = 2 ; número total de nós: n - 1 = 2 ; número de nós radiais: 0

    5p: número de nós angulares: l = 1 ; número total de nós: n - 1 = 4 ; número de nós radiais: 3

    4f: número de nós angulares: l = 3 ; número total de nós: n - 1 = 3 ; número de nós radiais: 0

    Passo 4

  7. Para o orbital 4f:

Como vimos, com l = 3 , o orbital 4f possue 3 superfícies nodais angulares. Não necessariamente elas serão planas.

Vamos dar uma olhada nos orbitais do tipo f:

Com excessão do orbital f   5 z 3 - 3 z r ² , todos os outros apresentam 3 planos nodais, tipo assim:

O orbital f   5 z 3 - 3 z r ² apresenta 3 superfícies nodais angulares, mas apenas 1 é plana:

Onde os dois cones e o plano azul representam as três superfícies nodais angulares.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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