Exercícios Resolvidos de Números Quânticos e Funções de Onda

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Enunciado

Considere os orbitais atômicos Ψ 1 = 4 f z ( 5 z 2 - 3 r 2 ) e Ψ 2 = 4 f z ( x 2 - y ² ) , admitindo respectivamente as funções angulares Y 1 = z 5 z 2 - 3 r 2 e Y 2 = z ( x 2 - y 2 ) . Determine, na ordem seguinte, o número total de superfícies nodais, a natureza das superfícies nodais derivando da parte angular e o número de esferas nodais destes dois orbitais.

Passo 1

A nomenclatura mundou um pouco, mas vamos entender que superfícies nodais são as nossas superfícies nodais angulares e esferas nodais são os nossos nodos radiais.

A gente sabe que o número total de nodos é dado por n - 1 .

Então as duas funções de ondas acima, Ψ 1 e Ψ 2 , com n = 4 , possuem 3 nodos.

E a gente também sabe que o número de superfícies nodais angulares é igual a l .

Logo, as duas funções de ondas acima, Ψ 1 e Ψ 2 , com l = 3   ( f ) , possuem 3 superfícies nodais angulares, não tendo nenhuma esfera nodal.

Passo 2

-

Como é que a gente descobre a “natureza das superfícies nodais”?

Através da função angular do orbital a gente pode definir se as superífices são planas e quais equações descrevem essas superfícies.

Vamos ver como isso funciona.

Para a primeira função de onda, a função angular é:

Y 1 = z 5 z 2 - 3 r 2

O nodo é quando a função de onda é zero né? Então vamos igualar esse cara aí a zero:

z 5 z 2 - 3 r 2 = 0

E pra uma multiplicação ser igual a zero, um dos fatores é zero:

z = 0

5 z 2 - 3 r 2 = 0

E o que que é esse r ? Ele é a distância de um ponto qualquer em relação à origem. Olha aí:

Aquela reta pontilhada em preto, que a gente chamou de d, é tipo a sombra da linha tracejada vermelha no “chão” (plano xy).

Por pitágoras, a gente vê que:

d 2 = x 2 + y ²

E então:

r 2 = d 2 + z 2 = x 2 + y 2 + z ²

Aí a gente volta pra nossa função e substitui r ² por x 2 + y 2 + z ² , beleza?

5 z 2 - 3 r 2 = 0

5 z 2 - 3 x 2 + y 2 + z 2 = 0

2 z 2 - 3 x 2 - 3 y 2 = 0

2 z 2 = 3 ( x 2 + y 2 )

O que que isso quer dizer?

Que a nossa função é igual a zero toda vez que:

z = 0

o u

2 z 2 = 3 ( x 2 + y 2 )

z = 0 é um plano, enquanto a outra superfície é bem mais complexa de enxergar. Normalmente teria que parametrizar e etc. Tem que ter uma base legal de cálculo. Mas são dois cones virados um contra o outro, assim:

Vamos fazer a mesma coisa com a outra função:

Y 2 = z x 2 - y 2

Igualamos ela a zero e achamos:

z x 2 - y 2 = 0

z = 0           o u           x 2 - y 2 = 0

Desenvolvendo a segunda equação:

x 2 = y ²

x = ± y

Então a função Y 2 é igual a zero sempre que   z = 0 ou x = ± y .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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