Exercícios Resolvidos de Obtenção dos Pontos Críticos

Dennis Zill, Equações diferenciais volume II, 11ª ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil Ltda., 2006, pp157-1

Escreva a equação diferencial não-linear de segunda ordem como um sistema autônomo plano. Ache todos os pontos críticos do sistema resultante.

x ' ' + 9 sen ⁡ x = 0

Passo 1

Vamos primeiro escrever o sistema com ele pediu, pra isso vamos ter que criar uma variável y . De forma que.

x ' = y

Como x ' ' = - 9 sen ⁡ x , o sistema será.

x ' = y y ' = - 9 sen ⁡ x

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Passo 2

Agora temos que achar os pontos críticos, pra isso vamos igualar x ' e y ' a zero. Então.

0 = y 0 = - 9 sen ⁡ x

De cara a gente já sabe que a coordenada y vai ser 0, mas a corrdenada do x nós vamos ter que analisar um pouco.

Para termos o seno sempre igual a zero a gente ai ter que lembrar aquele conhecimento de trigonometria que diz.

sen ⁡ x = 0   ⟹ x = ± n π ,   n = 0,1 , 2 , …

Então os pontos críticos vão ser ( ± n π , 0 )

Resposta

x ' = y y ' = - 9 sen ⁡ x

± n π , 0 ,     n = 0,1 , 2 , …

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