Exercícios Resolvidos de Plano Cartesiano

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Enunciado

17. Faça o gráfico e encontre o conjunto imagem das funções abaixo. Identifique os pontos em que o gráfico intersecta os eixos coordenados e os pontos nos quais há uma mudança no comportamento do gráfico (por exemplo, um vértice de uma parábola).

a) f x = x 2

b) f x = x 2 - 2 x .

Passo 1

Fala aí! Tudo certinho? Esta questão está um pouco complicada? Relaxa que vamos tentar te ajudar. 😎

Nessa questão, temos que obter o gráfico, o conjunto imagem, os pontos em que o gráfico intersecta os eixos coordenados e também os pontos onde o comportamento do gráfico muda.

Tem ideia de como fazer isso? 👀

Para obter o gráfico da função, vamos esboçar alguns pontos da função e ligá-los, esboçando seu gráfico.

Para obter o conjunto imagem, podemos imaginar que esse conjunto são os possíveis valores que a função pode assumir, ou seja, os possíveis valores para f x .

Para obter os pontos onde o gráfico pertence aos eixos, fazemos x = 0 e y = 0 na função.

E por fim, analisando os gráficos, podemos obter os pontos onde a função muda de comportamento.

Entendeu? Bora começar! 😎

Passo 2

Para a função f x = x 2 vamos começar obtendo alguns pontos do seu domínio

Plotando esses pontos no plano cartesiano e ligando-os, estimando o seu comportamento, vamos obter

Com relação ao conjunto imagem de f , vemos que para x negativo a função tende a e o mesmo acontece para x positivo, portanto, os valores que a função pode assumir como imagem são todos os valores de 0 a , ou seja

I m f x = f x ∈ R 0 ≤ f x < ∞

Nesse caso é simples de obter os pontos do gráfico que pertencem aos eixos x e y . Temos apenas um ponto que pertence a um eixo e esse ponto é 0,0 .

Além de ser um ponto pertencente aos dois eixos, esse ponto é um ponto onde a função muda de comportamento, não é?

Observe que antes de 0,0 , a função é decrescente e logo depois, a função é crescente, ou seja, esse é o vértice de f x = x 2

Tranquilo até aqui? 😉

Passo 3

Agora fazemos as mesmas análises para a função f x = x 2 - 2 x

Esboçando alguns pontos...

Estimando o gráfico da função a partir dos pontos, temos

A partir da imagem do gráfico da função, podemos dizer que a sua imagem é dada por

I m f x = f x ∈ R - 1 ≤ f x < ∞

Isso porque o menor valor que a função assume é - 1 , justamente no vértice 1 , - 1 , e para x distante de 0 (tanto positivo quanto negativo) a função tende a .

Pelo gráfico também, podemos ver que o ponto 0,0 pertence aos eixos x e y , além dele há outro ponto que podemos obter fazendo y = 0 em f x

0 = x 2 - 2 x

x x - 2 = 0

Logo, como x = 0 já foi obtido, nos resta

x - 2 = 0 → x = 2

Então 2,0 é o outro ponto que pertence ao eixo x !

Fim! Iae, o que achou? Responde Aí! 😁

Resposta

A) I m f x = f x ∈ R 0 ≤ f x < ∞

0,0 ∈ e i x o   x   e   e i x o   y e é vértice da função.

B) I m f x = f x ∈ R - 1 ≤ f x < ∞

1 , - 1 é o vértice da função e 0,0 e 2,0 são os pontos que a função encosta nos eixos.