Exercícios Resolvidos de Plano Normal a Curva

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Enunciado

(Cap. 13.3 - Ex. 50) Determine as equações dos planos normal e osculador da curva no ponto indicado.

x = t ,     y = t 2 ,     z = t 3 ;   ( 1,1 , 1 )

Passo 1

Fala aí, galerinha!! Tudo certinho? Bora lá resolver mais uma questão?

O objetivo dessa questãozinha aqui, é encontrar as equações dos planos normal e osculador de uma curva, a partir de um ponto. E o que são esses planos?

O plano normal, é um plano α qualquer. Já o plano osculador é um plano bidimensional, que cruza uma determinada curva, em um determinado ponto. A gente pode representar esse tipo de plano de maneira genérica:

Além disso, tem mais um detalhezinho que precisamos olhar! Ao ler o enunciado, a gente vê que ele deu os valores de x ,   y e z . Unindo esses três valores, teremos a função r ( t ) da curva:

r t = 〈 t ,     t 2 ,     t 3 〉

Passo 2

Agora que entendemos bem o problema, vamos primeiro calcular o plano normal.

Da literatura, a gente sabe que esse plano tem como vetor normal r ' ( t ) , que é a derivada da curva.

Então, calculando essa derivada, com base na função da curva determinada no passo anterior, temos que:

r ' t = ( 1 ,     2 t ,     3 t 2 )

Agora, a gente precisa fazer uma relação entre o ponto que foi dado, com as equações de x ,   y   e z . E por que isso? Essa relação vai servir pra gente determinar o valor de t , em que o vetor normal ao plano se encontra.

A relação é a seguinte:

{ x t = t = 1   y t = t 2 = 1   z t = t 3 = 1  

Da segunda equação ( y ) , já vemos que t = 1 . Então para encontrarmos o vetor normal ao plano basta fazermos r ' t :

r ' t = r ' 1 = ( 1 ,   2 ,   3 )

Pronto, já temos o vetor normal! Mas calma lá. Para encontrarmos o plano normal ainda precisamos utilizar mais uma fórmula: a x - x 0 + b y - y 0 + c z - z 0 = 0

Bora lá então!

Passo 3

Os valores de ( a , b , c ) na fórmula do passo anterior, são o vetor normal ao plano, enquanto que os valores de ( x 0 , y 0 , z 0 ) dizem respeito ao ponto dado no enunciado.

Então, substituindo os valores vamos ter o plano normal:

a x - x 0 + b y - y 0 + c z - z 0 = 0

1 x - 1 + 2 y - 1 + 3 z - 1 = 0

x + 2 y + 3 z - 6 = 0

x + 2 y + 3 z = 6

Passo 4

Agora, partindo para o plano osculador, sabemos da literatura, que ele tem os vetores r ' ( t ) e o vetor normal r ' ' ( t ) se relacionando da seguinte forma: r ' × r ' ' .

A primeira derivada nós já temos do passo 2. Então, basta calcularmos r ' ' , que é a segunda derivada:

r ' ' t = ( 0 ,   2 ,   6 t )

Como já definimos anteriormente no passo 2, sabemos que t = 1 . Então, substituindo na fórmula acima, temos:

r ' ' 1 = ( 0,2 , 6 )

Passo 5

Agora que temos os valores necessários, podemos calcular o vetor binormal r ' × r ' ' , utilizando a regra do determinante:

| r ' 1 × r ' ' 1 | = i   j   k   1   2   3   0   2   6   = ( 12 - 6 ,     - 6 ,     2 )

r ' 1 × r ' ' 1 = ( 6 ,   - 6 ,   2 )

Esse valor acima é o vetor osculador.

Por fim, pra encontrarmos o plano osculador, faremos igual no passo 3 quando encontramos o plano normal:

Os valores de ( a , b , c ) são o vetor osculador ao plano, enquanto que os valores de ( x 0 , y 0 , z 0 ) dizem respeito ao ponto dado no enunciado.

Então, substituindo os valores vamos ter o plano osculador:

a x - x 0 + b y - y 0 + c z - z 0 = 0

6 x - 1 - 6 y - 1 + 2 z - 1 = 0

6 x - 6 y + 2 z = 2

Pra essa questão é isso, pessoal!! Bora resolver mais uma??

Resposta

Plano normal: x + 2 y + 3 z = 6

Plano osculador: 6 x - 6 y + 2 z = 2