Exercícios Resolvidos de Plano Normal a Curva

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Enunciado

Considere as duas curvas com parametrização dadas por:

c 1 → t = t , t 2 - t , s e n t

c 2 → s = 2 π cos ⁡ π 2 s ,   s - 1 , s 2 - s

O plano que contém a reta tangente a c 1 → e a reta tangente a c 2 → , ambas no ponto 0,0 , 0 é:

  1. x + y = 0
  2. x - y + z = 0
  3. - x + y + z = 0
  4. x + z = 0
  5. Nenhuma das alternativas anteriores.

Passo 1

a) Vamos calcular o vetor tangente as curvas:

c 1 → ' t = 1,2 t - 1 , c o s t

c 2 → ' s = - 2 π π 2 sen ⁡ π 2 s ,   1,2 s - 1

No ponto 0,0 , 0 , vamos ter t = 0 e s = 1 . Então:

c 1 → ' t = 1 , - 1,1

c 2 → ' t = - 1 ,   1,1

Passo 2

Até agora encontramos os vetores tangentes as curvas no ponto dado. Porém, ele quer o plano que contém as retas tangentes, e por consequências, os vetores tangentes.

Se fizermos o produto vetorial desses vetores, encontraremos um vetor normal a eles e também normal ao plano que os contém. Então, temos:

n → = v 1 → x v 2 → = i ^ j ^ k ^ 1 - 1 1 - 1 1 1 =

- 1 x 1 - 1 x 1 i ^ - 1 x 1 - - 1 x 1 j ^ + 1 x 1 - - 1 x - 1 k ^ = - 2 i ^ - 2 j ^ + 0 k ^

n → = - 2 , - 2,0

Passo 3

Montando a equação do plano, temos:

- 2 , - 2,0 x - 0 , y - 0 , z - 0 = 0

- 2 x - 2 y = 0

x + y = 0

Resposta

  1. x + y = 0