Exercícios Resolvidos de Plano Normal a Curva

Elaboração Própria

Determine a equação paramétrica da reta tangente e a equação do plano normal à trajetória da curva dada, no ponto dado:

σ t = ( t 2 ,   t )

P 0 = 1 ,   1

Passo 1

Encontrar t 0 correspondente ao ponto σ ( t 0 ) ou vice-versa:

Neste caso, temos o ponto, então devemos encontrar t 0 :

σ t 0 = 1 ,   1

⇒ t 0 2 ,   t 0 = 1 ,   1

Igualando as coordenadas, temos que:

t 0 = 1

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Calcular σ ' ( t ) :

σ ' t = 2 t ,   1

Passo 3

Calcular σ ' t 0 :

t 0 = 1

σ ' t 0 = σ ' 1 = 2.1 ,   1

⇒ σ ' 1 = 2 ,   1

Passo 4

Reta tangente:

Substituir em r t = σ t 0 + σ ' t 0 ⋅ t :

r t = σ t 0 + σ ' t 0 ⋅ t

r t = 1 ,   1 + 2 ,   1 ⋅ t

r t = 1 + 2 t ,   1 + t

Passo 5

Plano normal:

x - x 0 ,   y - y 0 ⋅ σ ' t 0 = 0

x - 1 ,   y - 1 ⋅ 2 ,   1 = 0

2 ( x - 1 ) + 1 ( y - 1 ) = 0

⇒ 2 x + y = 3

Resposta

Reta tangente:

r t = 1 + 2 t ,   1 + t

  t ∈ R

Plano normal:

2 x + y = 3

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