Exercícios Resolvidos de Plano Normal a Curva

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Enunciado

Considere as superfícies

S 1   : z + x 2 = 25

S 2   : z = 4 x 2 + y 2

  1. Identifique e esboce S 1
  2. Identifique e esboce S 2
  3. Dê uma parametrização da curva espacial C = S 1 ∩ S 2
  4. Ache a equação do plano normal a curva C passando pelo ponto P = 5 , 0,20

Passo 1

a )  

A superfície S 1 é dada por

z + x 2 = 25

Podemos reorganizar essa expressão da seguinte forma

z = - x 2 + 25

Que já é algo que nos lembra alguma coisa.

Não? Não te lembra nada?

Então tente pensar que no lugar do z tivéssemos um y ...

Aí pareceria uma parábola, né?

Pois bem, é isso mesmo! Só que nossa parábola está no “plano” x z .

Mas na verdade, não temos só uma parábola no plano, porque estamos falando de uma superfície. E superfícies estão em 3 D . Assim, nossa parábola vira um cilindro, que tem como geratriz essa parábola.

Passo 2

Na prática, para esboçar, o que precisamos fazer é desenhar essa parábola e “puxar” ela na direção perpendicular ao plano x z . Assim,

Desenhando a parábola

Puxando isso na direção perpendicular ao plano x z , ou seja, na direção y , temos

Passo 3

b )

A superfície S 2 é dada por

z = 4 x 2 + y 2

Que é um paraboloide elíptico, pois podemos escrevê-lo da forma z - z 0 c = x - x 0 2 a 2 + y - y 0 2 b 2

Veja:

z 4 = x 2 + y 2 4

Passo 4

Agora, vamos fazer os traços do paraboloide elíptico. Temos:

  1. z = 0 → x 2 + y 2 4 = 0 , que é o ponto 0,0 , 0
  2. y = 0 → z = 4 x 2 , que é uma parábola no plano x z , com vértice em 0,0 , 0
  3. x = 0 → z = y 2 , que é uma parábola no plano y z , com vértice em 0,0 , 0

Juntando todas essas informações, vamos ter o seguinte esboço:

Passo 5

c )

Para fazer uma interseção basta isolar uma variável que as duas equações tenham em comum, e depois igualar os dois resultados.

Na segunda superfície, o z já está isolado, ótimo. Então vamos substituí-lo na equação de S 1 :

( 4 x 2 + y 2 ) + x 2 = 25

5 x 2 + y 2 = 25

Se dividirmos tudo por 25 , ficamos com

x 2 5 + y 2 25 = 1

Pronto conseguimos a equação de nossa interseção: uma elipse no plano x y .

Passo 6

Agora temos que parametrizar a elipse:

x t = x 0 + a cos ⁡ t

y t = y 0 + b sen ⁡ t

t ∈ [ 0 ,   2 π ]

Substituindo nossos dados nessa parametrização genérica de uma elipse:

x t = 5 cos ⁡ t

y t = 25 sen ⁡ t

Beleza, agora só falta substituir isso na variável isolada z para termos a parametrização completa da nossa curva de interseção (que está no espaço, não se esqueça).

Fazendo isso então, temos

z t = 4 x ( t ) 2 + y ( t ) 2 = 4 5 cos ⁡ t 2 + 25 sen ⁡ t 2

z t = 4.5 cos 2 ⁡ t + 25 sen 2 ⁡ t

z t = 20 cos 2 ⁡ t + 25 sen 2 ⁡ t

Assim, a parametrização completa da nossa curva é

σ t = 5 cos ⁡ t , 25 sen ⁡ t , 20 cos 2 ⁡ t + 25 sen 2 ⁡ t  

t ∈ R

Passo 7

d )

Agora é fácil. Para encontrar o plano normal a curva C no ponto P = 5 , 0,20 é só seguir o passo a passo:

  1. Encontrar t 0 correspondente ao ponto dado no enunciado ou vice-versa
  2. Calcular σ ' ( t )
  3. Calcular σ ' t 0
  4. Substituir em x - x 0 ,   y - y 0 ,   z - z 0 ⋅ σ ' t 0 = 0  

Passo 8

Encontrando o valor de t 0 :

σ t 0 = 5 cos ⁡ t 0 , 25 sen ⁡ t 0 , 20 cos 2 ⁡ t 0 + 25 sen 2 ⁡ t 0 = 5 , 0,20  

Igualando as coordenadas, temos

5 cos ⁡ t 0 = 5 ⇒ cos ⁡ t 0 = 1

25 sen ⁡ t 0 = 0 ⇒ sen ⁡ t 0 = 0

20 cos 2 ⁡ t 0 + 25 sen 2 ⁡ t 0 = 20

Assim,

t 0 = 0

Passo 9

Calculando σ ' ( t ) :

σ t = 5 cos ⁡ t , 25 sen ⁡ t , 20 cos 2 ⁡ t + 25 sen 2 ⁡ t

σ ' t = - 5 sen ⁡ t , 25 cos ⁡ t , - 40 cos ⁡ t sen ⁡ t + 50 sen ⁡ t cos ⁡ t

No ponto t 0 :

σ ' 0 = - 5 sen ⁡ 0 , 25 cos ⁡ 0 , - 40 cos ⁡ 0 sen ⁡ 0 + 50 sen ⁡ 0 cos ⁡ 0

σ ' 0 = 0 , 25 , 0

Passo 10

A equação do plano normal é então

x - 5 ,   y - 0 ,   z - 20 ⋅ 0 , 25 , 0 = 0  

25 y = 0

Ou seja, o plano normal a curva C no ponto P = 5 , 0,20 é o plano y = 0 .

Resposta

a )

b )

c )

σ t = 5 cos ⁡ t , 25 sen ⁡ t , 20 cos 2 ⁡ t + 25 sen 2 ⁡ t  

t ∈ R

d )

O plano normal a curva C no ponto P = 5 , 0,20 é o plano y = 0 .