Exercícios Resolvidos de Plano Normal a Curva

Ver Teoria

Enunciado

Considere a curva C parametrizada por t ,   3 t 2 - 2 t , t 3 + 2 , t ∈ R . Uma equação para o plano que passa pelo 1,1 , 3 e é perpendicular a reta tangente a curva C nesse ponto é:

a)   x + 4 y + 3 z = 14

b)   x + 3 y + 3 z = 13

c)   3 x + y + 3 z = 13

d)   3 x + y + 6 z = 22

e)   x + y + 3 z = 11  

f)   x + y + z = 5

Passo 1

Vamos começar encontrando o vetor tangente a curva no ponto. Temos:

C ' t = 1 ,   6 t - 2 ,   3 t 2

Porém no ponto 1,1 , 3 , temos t = 1 . Então:

C ' 1 = 1,4 , 3

Passo 2

Se o plano é perpendicular ao vetor tangente a curva C , então C ' é um vetor normal ao plano. Podemos utiliza-lo para encontrar a equação do plano. Fica:

1,4 , 3 x - 1 , y - 1 , z - 3 = 0

x + 4 y + 3 z = 14

Resposta

a)   x + 4 y + 3 z = 14