Exercícios Resolvidos de Plano Normal a Curva

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Enunciado

Considere a curva C parametrizada por:

r t = 2 c o s t , 2 s e n t , t ,   t ∈ R

O plano perpendicular a C no ponto 1 , 1 , π 4 é:

a) - x + y + z = π / 4

b) x + y + z = π / 4 - 2

c) x + y + π 4 z = π / 4

d) x - y + z = π / 4

e) - x + y + π 4 z = π / 4

Passo 1

Vamos começar encontrando o vetor tangente no ponto dado. Temos:

r ' t = - 2 s e n t , 2 cos ⁡ t , 1

No ponto dado, temos t = π / 4 :

r ' π / 4 = - 2 s e n π / 4 , 2 cos ⁡ π / 4 , 1

r ' π 4 = - 2 2 2 , 2 2 2 , 1 = - 1 , 1,1

Passo 2

Se o plano é perpendicular a C , então o vetor tangente a C é normal ao plano. Podemos então encontrar a equação do plano, pois já temos um vetor normal a ele e o ponto 1 , 1 , π 4 . Vai ficar:

- 1 , 1,1 x - 1 , y - 1 , z - π 4 = 0

- x + y + z = π 4

Resposta

a) - x + y + z = π / 4