Exercícios Resolvidos de Plano Normal a Curva

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Enunciado

Considere a superfície de nível

S = x , y , z ∈ R 3   2 x 2 + y 2 + x z = 1 }  

  1. Exiba o vetor normal a S em P = ( 0,1 , 2 ) e escreva a equação paramétrica da reta normal a S em P = ( 0,1 , 2 ) .
  2. Seja C a curva espacial obtida pela interseção de S com o plano x + z = 2 .
    1. Parametrize C por uma função vetorial
    2. α t = x t , y t , z t   ,   t ∈ a , b

      Explicitando as funções x t ,   y t ,   z ( t ) e os números reais a e b .

    3. Determine os pontos de interseção da curva espacial C com o plano x = 0 .
    4. Escreva a equação paramétrica do plano ortogonal a C em P = ( 0,1 , 2 )

Passo 1

a )

Sabemos que o vetor tangente é um vetor que é perpendicular à superfície de nível de uma função. Logo, se definirmos

f x , y , z = 2 x 2 + y 2 + x z - 1 = 0

Temos que S é a superfície de nível de f que passa pelo ponto P = ( 0,1 , 2 ) , pois

f 0,1 , 2 = 2 . 0 2 + 1 2 + 0.2 = 1

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Assim, o vetor perpendicular a S será o vetor ∇ f ( 0,1 , 2 ) .

Passo 2

Calculando ∇ f :

f x , y , z = 2 x 2 + y 2 + x z - 1

∇ f = ( 4 x + z , 2 y , x )

No ponto P = ( 0,1 , 2 ) :

∇ f 0,1 , 2 = 4.0 + 2,2.1,0 = ( 2,2 , 0 )

Passo 3

Agora, para achar a reta normal a S , como já sabemos que ∇ f 0,1 , 2 é um vetor normal a S , então ele tá na mesma direção da reta normal.

Assim, a equação paramétrica da reta normal a S em P = ( 0,1 , 2 ) é:

r t = P + ∇ f 0,1 , 2 t

r t = 0,1 , 2 + 2,2 , 0 t

t ∈ R

Passo 4

b )

i t e m   b . i

Vamos parametrizar a curva C de interseção entre S e o plano dado.

Para isso, vamos isolar o z na equação do plano:

x + z = 2

z = 2 - x

E substituir na equação de S :

2 x 2 + y 2 + x z = 1

2 x 2 + y 2 + x ( 2 - x ) = 1

2 x 2 + y 2 + 2 x - x 2 = 1

x 2 + 2 x + y 2 = 1

Completando quadrados em x :

x + 1 2 + y 2 = 2

E isso nada mais é do que a equação de uma circunferência de raio 2 e centro em ( - 1,0 ) .

Passo 5

Essa circunferência é a PROJEÇÃO da nossa curva, que é espacial, isto é, tem três componentes, no plano x y .

Vamos parametrizar essa projeção e depois a gente parametriza a componente que falta, z ( t ) .

A parametrização da circunferência é

x t = 2 cos ⁡ t - 1

y t = 2 sen ⁡ t

t ∈ [ 0,2 π ]

Assim, a parametrização de z ( t ) fica:

z = 2 - x

z ( t ) = 2 - x ( t )

z t = 2 - 2 cos ⁡ t + 1

z t = 3 - 2 cos ⁡ t

Portanto, nossa curva espacial C é:

α t = 2 cos ⁡ t - 1 , 2 sen ⁡ t , 3 - 2 cos ⁡ t   ,   t ∈ [ 0,2 π ]

Passo 6

b )

i t e m   b . i i

Para C intersectar o plano x = 0 é preciso que a componente x ( t ) dela seja nula. Assim,

x t = 2 cos ⁡ t - 1 = 0

cos ⁡ t = 1 2 = 2 2

t = π 4

Ou

t = 7 π 4

Passo 7

Os pontos de interseção da curva C com x = 0 são:

α π 4 = 2 cos ⁡ π 4 - 1 , 2 sen ⁡ π 4 , 3 - 2 cos ⁡ π 4 = ( 0,1 , 2 )

E

α 7 π 4 = 2 cos ⁡ t - 1 , 2 sen ⁡ t , 3 - 2 cos ⁡ t = ( 0 , - 1,2 )

Passo 8

b )

i t e m   b . i i i

Agora, pra fechar, a equação paramétrica do plano normal a C é dada por

Ω s , t = P 0 + v → ∙ s + w → ∙ t     ,   s , t ∈ R

Que é bem parecida com a equação paramétrica da reta, certo? Só que agora temos 2 parâmetros e 2 “vetores diretores”, que são vetores tangentes ao plano.

Um desses vetores tangentes ao plano (e consequentemente normais a C ) é mais tranquilo de achar, pois a gente sabe que o vetor ∇ f ( 0,1 , 2 ) é normal a S . E como C está contido em S , então ele também é normal a C .

Assim,

v → = ∇ f 0,1 , 2 = ( 2,2 , 0 )

Além disso, se a gente pensar num vetor que tá na mesma direção da curva C , ou seja, o vetor tangente à curva, que é o vetor

α ' π 4

Teremos um vetor normal ao plano.

Para encontra-lo, é só derivar a curva e depois substituir no ponto t = π 4 .

α t = 2 cos ⁡ t - 1 , 2 sen ⁡ t , 3 - 2 cos ⁡ t

α ' t = - 2 sen ⁡ t , 2 cos ⁡ t , 2 sen ⁡ t

Substituindo em t = π 4 , temos

α ' π 4 = - 2 sen ⁡ π 4 , 2 cos ⁡ π 4 , 2 sen ⁡ π 4

α ' π 4 = - 1,1 , 1 = v →

Passo 9

Beleza, mas ainda falta o outro vetor tangente ao plano.

E precisamos encontrar esse outro vetor a partir de informações que a gente já tem.

Vamos com calma. Queremos um vetor tangente ao plano e temos um outro vetor normal ao plano, o vetor α ' π 4 , e um vetor tangente ao plano, que é o vetor ∇ f ( 0,1 , 2 ) , pois ele é normal a S (e consequentemente a C )

Esses dois vetores são perpendiculares entre si, mas se fizermos o produto vetorial entre eles, acharemos um terceiro vetor, perpendicular simultaneamente, a esses dois vetores.

E se você pegar sua mão direita e fizer a tal da regra da mão direita, vai ver que com 3 vetores perpendiculares, teríamos 2 vetores perpendiculares entre sim, porém no mesmo plano, e um vetor, perpendicular aos outros dois, e normal ao plano em que os dois primeiros vetores estão.

E agora veja você se essa não é exatamente a situação que queremos? Dois vetores no mesmo plano (tangente à C ) e um vetor normal a esse plano.

Certo? Então vamos fazer esse produto vetorial:

w → = ∇ f ( 0,1 , 2 ) × α ' π 4

w → = i j k 2 2 0 - 1 1 1   i j k 2 2 0 - 1 1 1

w → = 2   i + 0   j + 2   k + 2   k - 0   i - 2   j  

w → = 2 , - 2,4

Ou qualquer vetor múltiplo desse!

Substituindo tudo na equação paramétrica do plano tangente:

Ω s , t = P 0 + v → ∙ s + w → ∙ t     ,   s , t ∈ R

Ω s , t = ( 0,1 , 2 ) + 2,2 , 0 ∙ s + 2 , - 2,4 ∙ t     ,   s , t ∈ R

Resposta

a )

∇ f 0,1 , 2 = ( 2,2 , 0 )

r t = 0,1 , 2 + 2,2 , 0 t

t ∈ R

b )

b . i )   α t = 2 cos ⁡ t - 1 , 2 sen ⁡ t , 3 - 2 cos ⁡ t   ,   t ∈ [ 0,2 π ]

b . i i )   α π 4 = ( 0,1 , 2 )

E

α 7 π 4 = ( 0 , - 1,2 )

b . i i i )     Ω s , t = ( 0,1 , 2 ) + 2,2 , 0 ∙ s + 2 , - 2,4 ∙ t     ,   s , t ∈ R