Exercícios Resolvidos de Plano Normal a Curva

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Enunciado

Considere as superfícies

S 1 = x , y , z ∈ R 3     z 2 = 4 x 2 + y 2 ; z ≥ 0 }  

S 2 = x , y , z ∈ R 3     y + z - 3 = 0 }  

Considere C = S 1 ∩ S 2 e B a projeção de C no plano x y .

  1. Identifique B como uma curva clássica:
  2. • Se B é um círculo exiba o centro e o raio

    • Se B é uma elipse, exiba o centro e os semieixos.

    • Se B é uma hipérbole, exiba as equações cartesianas das retas assíntotas.

    Explicite uma parametrização β da curva B na forma β   : - k , k → R 2 , onde

    β t = x t , y t ,   t ∈ [ - k , k ]

  3. Explicite uma parametrização α da curva C na forma α   : - d , d → R 3 ,
  4. α t = f 1 t , f 2 t , f 3 t , t ∈ - d , d ,   d > 0

    Tal que α 0 = ( 3 , - 1,4 ) , explicitando d , f 1 t ,   f 2 ( t ) e f 3 ( t ) .

    Calcule α ' ( 0 ) .

  5. Escreva a equação paramétrica da reta t tangente à C passando pelo ponto P = ( 3 , - 1,4 ) .
  6. Escreva a equação cartesiana do plano Π ortogonal à C passando pelo ponto P = ( 3 , - 1,4 ) .
  7. Escreva um vetor normal à superfície S 1 em P = ( 3 , - 1,4 ) . Escreva a equação paramétrica do plano Ω tangente à S 1 em P = ( 3 , - 1,4 ) .

Passo 1

a )

Primeiramente, vamos descobrir quem é a tal da curva B .

Vamos fazer a interseção de S 1 e S 2 . Para isso, vamos isolar o z na equação de S 2 :

y + z - 3 = 0

z = 3 - y

Beleza? Isolamos o z em função de x e y por que estamos buscando a projeção da curva de interseção C no plano x y , onde o z não aparece.

Agora, substituindo isso na equação de S 1 :

z 2 = 4 x 2 + y 2

( 3 - y ) 2 = 4 x 2 + y 2

9 - 6 y + y 2 = 4 x 2 + 4 y 2

4 x 2 + 3 y 2 + 6 y = 9

Completando quadrados em y :

4 x 2 + 3 y + 1 2 = 9 + 3

4 x 2 + 3 y + 1 2 = 12

Dividindo os dois lados por 12 :

x 2 3 + y + 1 2 4 = 1

E isso é exatamente a equação de uma elipse!!

Assim, a projeção da curva de interseção C no plano x y , isto é, a nossa curva B é uma elipse, com centro em ( 0 , - 1 ) e semieixos 3 em x e 2 em y .

Passo 2

Agora precisamos parametrizar essa curva.

Mas parametrização de elipse é moleza, a gente já ta careca de saber, não é mesmo?

Então vamos lá.

x t = 3 cos ⁡ t

y t = 2 sen ⁡ t - 1

Assim,

β t = 3 cos ⁡ t , 2 sen ⁡ t - 1 ,   t ∈ [ 0,2 π ]

Mas aí, o enunciado tá pedindo que t pertença a um intervalo do tipo [ - k , k ] . Então, temos que transformar nossa volta completa da elipse, de 0 até 2 π em algo do tipo -   a l g u m a   c o i s a até + a l g u m a   c o i s a .

E aí, se a gente andar de – π até + π , a gente também tem uma volta completa. Assim

β t = 3 cos ⁡ t , 2 sen ⁡ t - 1 ,   t ∈ [ - π , π ]

Passo 3

b )

Agora a gente precisa parametrizar a curva de interseção real, isto é, a curva C (não mais a projeção), na forma

α t = f 1 t , f 2 t , f 3 t , t ∈ - d , d ,   d > 0

Mas aí eu te digo, se a gente já parametrizou a curva B , que é a projeção no plano x y da curva C , que tá no espaço, nós já temos a parametrização de f 1 ( t ) e f 2 ( t ) .

Afinal de contas, a projeção de uma curva no plano x y é exatamente a curva, só que com a coordenada z = 0 . Assim

f 1 t = 3 cos ⁡ t

f 2 t = 2 sen ⁡ t - 1

Passo 4

Beleza, agora só tá faltando a última coordenada dessa curva, que é a coordenada z = f 3 ( t ) .

Mas lembra que lá no passo 1 a gente isolou z em função de y ?

z = 3 - y

Ora, se agora a gente já tem o y parametrizado e função de t , é só a gente substituir isso nessa expressão aí de cima e vamos ter o z parametrizado em função de t também!

Então vamos fazer isso:

z = 3 - ( 2 sen ⁡ t - 1 )

z = f 3 ( t ) = 4 - 2 sen ⁡ t

Portanto, a parametrização α da nossa C é

α t = 3 cos ⁡ t , 2 sen ⁡ t - 1 , 4 - 2 sen ⁡ t , t ∈ - π , π

Passo 5

Mas, o enunciado diz que essa curva é tal que α 0 = ( 3 , - 1,4 ) , então vamos verificar se a gente achou certo mesmo:

α 0 = 3 cos ⁡ 0 , 2 sen ⁡ 0 - 1 , 4 - 2 sen ⁡ 0

α 0 = 3 ∙ 1,2 ∙ 0 - 1 , 4 - 2 ∙ 0 = ( 3 , - 1,4 )

Show, então acertamos!

Passo 6

Mas ainda falta calcular α ' ( 0 ) .

α t = 3 cos ⁡ t , 2 sen ⁡ t - 1 , 4 - 2 sen ⁡ t

α ' t = - 3 sen ⁡ t , 2 cos ⁡ t , - 2 cos ⁡ t

Substituindo t = 0 :

α ' 0 = - 3 sen ⁡ 0 , 2 cos ⁡ 0 , - 2 cos ⁡ 0

α ' 0 = 0,2 , - 2

Passo 7

c )

Agora vamos à equação paramétrica da reta t tangente à C passando pelo ponto P = ( 3 , - 1,4 ) .

O vetor que tá na mesma direção da reta tangente à C nós acabamos de achar no passo anterior, que é o vetor

α ' 0 = 0,2 , - 2

Isso porque o parâmetro t 0 = 0 é o valor que corresponde ao ponto de tangência P = ( 3 , - 1,4 ) , conforme a gente verificou no passo 5.

Assim fica moleza então, porque já temos tudo que precisamos pra parametrizar a reta tangente. É só substituir:

r t = P 0 + n t

r t = ( 3 , - 1,4 ) + 0,2 , - 2 t

r t = 3 , - 1 + 2 t , 4 - 2 t ,   t ∈ R

Passo 8

d )

Força na peruca que não acabou ainda!

Agora é hora da equação cartesiana do plano Π normal à C passando pelo ponto P = ( 3 , - 1,4 ) .

Para isso, precisamos achar o vetor normal a esse plano.

Mas, pensa comigo: estamos buscando um vetor que seja perpendicular ao plano que é perpendicular à C . Ou seja, estamos buscando um vetor que esteja na mesma direção de C .

OPAAAAA, mas esse vetor a gente já tem: é o tal do vetor diretor da reta tangente, o vetor

α ' 0 = 0,2 , - 2

Então, mais uma vez, queremos o plano normal à curva no ponto P e já temos o ponto P e o vetor normal ao plano, ou seja, já temos tudo, é só substituir na equação do plano:

a x - x 0 + b y - y 0 + c z - z 0 = 0

0 x - 3 + 2 y + 1 - 2 z - 4 = 0

2 y + 2 - 2 z + 8 = 0

2 y - 2 z = - 10

y - z = - 5

E essa é a equação do plano normal a curva de interseção C .

Passo 9

e )

Tá acabando, juro!

Precisamos, primeiramente, achar um vetor normal à superfície S 1 em P = ( 3 , - 1,4 ) .

E depois, vamos ter que achar a equação paramétrica do plano tangente à S 1 em P = ( 3 , - 1,4 ) .

Para achar o vetor normal basta a gente jogar tudo pra um lado só na equação de S 1 e chamar isso de F ( x , y , z ) :

F x , y , z = z 2 - 4 x 2 + y 2

O vetor normal a S 1 será o vetor gradiente dessa função F :

n → = ∇ F x , y , z = ( - 8 x , - 8 y , 2 z )

No ponto P = ( 3 , - 1,4 ) :

n → = ∇ F 3 , - 1,4 = ( - 8 3 , - 8 ( - 1 ) , 2.4 )

n → = ( - 8 3 , 8,8 )

Passo 10

Agora, pra fechar (finalmente), a equação paramétrica do plano tangente é dada por

Ω s , t = P 0 + v → ∙ s + w → ∙ t     ,   s , t ∈ R

Que é bem parecida com a equação paramétrica da reta, certo? Só que agora temos 2 parâmetros e 2 “vetores diretores”, que são vetores paralelos ao plano.

Um desses vetores paralelos ao plano nós já temos, que é o vetor

α ' 0 = v → = 0,2 , - 2

Pois ele tá direção tangente à curva e estamos procurando o plano tangente à curva, certo?

Beleza, mas ainda falta o outro vetor paralelo ao plano.

E precisamos encontrar esse outro vetor a partir de informações que a gente já tem.

Vamos com calma. Queremos um vetor paralelo ao plano e temos um outro vetor paralelo ao plano, o vetor α ' ( 0 ) , e um vetor normal ao plano, o vetor n → .

Esses dois vetores são perpendiculares entre si, mas se fizermos o produto vetorial entre eles, acharemos um terceiro vetor, perpendicular simultaneamente, a esses dois vetores.

E se você pegar sua mão direita e fizer a tal da regra da mão direita, vai ver que com 3 vetores perpendiculares, teríamos 2 vetores perpendiculares entre sim, porém no mesmo plano, e um vetor, perpendicular aos outros dois, e normal ao plano em que os dois primeiros vetores estão.

E agra veja você se essa não é exatamente a situação que queremos? Dois vetores no mesmo plano (tangente à C ) e um vetor normal a esse plano.

Certo? Entã vamos fazer esse produto vetorial:

w → = n → × α ' ( 0 )

w → = i j k - 8 3 8 8 0 2 - 2  

w → = - 4 , - 2 3 , - 2 3

Substituindo tudo na equação paramétrica do plano tangente:

Ω s , t = P 0 + v → ∙ s + w → ∙ t     ,   s , t ∈ R

Ω s , t = ( 3 , - 1,4 ) + 0,2 , - 2 ∙ s + - 4 , - 2 3 , - 2 3 ∙ t     ,   s , t ∈ R

FIM, TCHAU, BYE BYE!

Resposta

a )

β t = 3 cos ⁡ t , 2 sen ⁡ t - 1 ,   t ∈ [ - π , π ]

b )

α t = 3 cos ⁡ t , 2 sen ⁡ t - 1 , 4 - 2 sen ⁡ t , t ∈ - π , π

α ' 0 = 0,1 , 2

c )

r t = 3 , - 1 + 2 t , 4 - 2 t ,   t ∈ R

d )

y - z = - 5

e )

n → = ( - 8 3 , 8,8 )

Ω s , t = ( 3 , - 1,4 ) + 0,2 , - 2 ∙ s + - 4 , - 2 3 , - 2 3 ∙ t     ,   s , t ∈ R