Exercícios Resolvidos de Plano tangente e Curva de Nível

USP, Cálculo 2, P2 - 2018, Questão 1

Considere uma função f   : R 2 R de classe C 1 . Suponha que:

i ) A imagem da curva plana γ t = sec 2 t , tan t   ,   t ]   π / 2 ,   3 π / 2 [     esteja contida numa curva de nível de f

i i ) A imagem da curva no espaço σ u = u , u 2 - 4 u - 4 u , 4 u 4 - 2 u 3 + u   ,   u > 0 esteja contida no gráfico de f

Determine uma equação do plano tangente ao gráfico de f no ponto 2 , - 1 , f 2 , - 1 .

Passo 1

Vamos organizar em tópicos o que a questão nos deu:

  • Uma função do tipo z = f ( x , y ) (porque é uma função R 2 R )
  • Uma curva de nível da função: γ t = sec 2 t , tan t   ,   t ]   π / 2 ,   3 π / 2 [  
  • Uma superfície de nível da função: σ u = u , u 2 - 4 u - 4 u , 4 u 4 - 2 u 3 + u   ,   u > 0

Agora com essas informações, precisamos encontrar o plano tangente ao gráfico de f no ponto 2 , - 1 , f 2 , - 1 e para isso, vamos precisar descobrir quem é o vetor tangente.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Para encontrar a equação do plano tangente ao gráfico de f , fazemos:

z = f ( x , y )

F x , y , z = f x , y - z

Assim, o gradiente fica:

F = f x , f y , - 1

No ponto P 0 = 2 , - 1 , f 2 , - 1 :

F P 0 = f x ( 2 , - 1 ) , f y ( 2 , - 1 ) , - 1

Ok, precisamos encontrar f x e f y .

Passo 3

Como a curva γ ( t ) é uma curva de nível de f , isso significa que as componentes x ( t ) e y ( t ) da curva tem que satisfazer a nossa função também. Isso significa que se

γ t = x t , y t = sec 2 t , tan t

E

z = f x , y

Então

z t = f x t , y t = f sec 2 t , tan t = f γ t

Usando a regra da cadeia, vamos ter

d z d t = f γ t '

E a derivada de γ t a gente consegue calcular, porque temos a expressão de γ ( t ) :

γ t = sec 2 t , tan t

γ ' t = 2 sec t sec t tan t , sec 2 t

γ ' t = 2 sec 2 t tan t , sec 2 t

Assim, vamos ter

d z d t = f 2 sec 2 t tan t , sec 2 t

Passo 4

No ponto de tangencia P 0 = 2 , - 1 , f 2 , - 1 temos que, como estamos sobre a curva de nível:

x t , y t = sec 2 t , tan t = ( 2 , - 1 )

Resolvendo esse sistema, tiramos que

t = 3 π 4

Além disso, no ponto de tangencia,

z = f 2 , - 1 = c t e

Assim,

d z d t = f 2 sec 2 t tan t , sec 2 t

0 = d z d t = f x 2 , - 1 , f y 2 , - 1 2 sec 2 3 π 4 tan 3 π 4 , sec 2 3 π 4

f x 2 , - 1 , f y 2 , - 1 4 . ( - 1 ) , 2 = 0

- 4 f x + 2 f y = 0

E vamos guardar essa primeira relação envolvendo f x e f y no ponto ( 2 , - 1 ) .

Passo 5

Além disso, sabemos também que a curva

σ u = u , u 2 - 4 u - 4 u , 4 u 4 - 2 u 3 + u

É superfície de nível de f .

Então podemos usar o mesmo raciocínio, só que com uma dimensão a mais.

Assim, podemos dizer que se σ ( u ) é superfície de nível da função, então

z u = f x u , y u = f σ u

Ou seja,

f u , u 2 - 4 u - 4 u = 4 u 4 - 2 u 3 + u

E assim, também podemos usar a regra da cadeia para derivar esse negócio.

Ficamos com

d z d u = f σ u '

As derivadas de σ em relação a u nós conseguimos calcular e a derivada de z em relação a u também. Nossa incógnita fica sendo o gradiente de f , como queríamos!

Derivando σ :

σ u = u , u 2 - 4 u - 4 u

σ ' u = 1 2 u , 2 u - 4 u - ( u 2 - 4 u - 4 ) u 2

σ ' u = 1 2 u , u 2 - 3 u + 4 u 2

Derivando z :

z u = 4 u 4 - 2 u 3 + u

d z d u = 4 4 4 u 3 4 - 2 3 2 u 2 3 + 1 2 u

Então, vamos ter

d z d u = f σ u '

f 1 2 u , u 2 + 4 u 2 = 4 4 4 u 3 4 - 2 3 2 u 2 3 + 1 2 u

Passo 6

No ponto de tangencia P 0 = 2 , - 1 , f 2 , - 1 temos que, como estamos sobre superfície de nível:

u , u 2 - 4 u - 4 u , 4 u 4 - 2 u 3 + u = 2 , - 1 , f 2 , - 1

u = 2

u 2 - 4 u - 4 u = - 1

Dai tiramos que

u = 4

Então, nossa derivada, no ponto de tangencia, fica:

f ( 2 , - 1 ) 1 2 4 , 4 2 + 4 4 2 = 4 4 4 . 4 3 4 - 2 3 2 . 4 2 3 + 1 2 4

f ( 2 , - 1 ) 1 4 , 20 16 = 1 8 - 2 3 . 4 + 1 4

f x 2 , - 1 , f y 2 , - 1 1 4 , 5 4 = 3 - 4 + 6 24 = 5 24

1 4 f x + 5 4 f y = 5 24

E tá aí nossa outra relação com f x e f y no ponto ( 2 , - 1 ) .

Passo 7

Agora temos duas equações envolvendo f x e f y que são nossas duas incógnitas. Com isso conseguimos resolver esse sistema e achar nosso vetor gradiente pra depois finalmente achar nosso plano tangente!!!

Vamos lá

- 4 f x + 2 f y = 0

1 4 f x + 5 4 f y = 5 24

Vamos multiplicar a segunda equação por 4 , nosso sistema fica:

- 4 f x + 2 f y = 0

f x + 5 f y = 5 6

Da segunda equação,

f x = 5 6 - 5 f y

Substituindo na primeira:

- 4 5 6 - 5 f y + 2 f y = 0

- 20 6 + 20 f y + 2 f y = 0

f y = 20 6 22 = 20 6 1 22 = 10 3 1 22

f y = 10 66

Assim

f x = 5 6 - 5 10 66 = 5 6 - 50 66 = 5 66

E FINALMENTE ACHAMOS ESSE DANADO DESSE VETOR GRADIENTEEEEEEEEEEEEEEE!

Passo 8

Agora a equação do plano tangente no ponto P 0 = 2 , - 1 , f 2 , - 1 é:

x - x 0 , y - y 0 , z - z 0 F P 0 = 0

Ops, ainda falta a gente calcular o z 0 .

Mas, como sabemos que

f u , u 2 - 4 u - 4 u = 4 u 4 - 2 u 3 + u

E no ponto de tangencia, u = 4

f 2 , - 1 = 4 . 4 4 - 2 . 4 3 + 4 = 2 = z 0

Pronto!

Agora voltando ao plano tangente:

x - 2 , y + 1 , z - 2 5 66 , 10 66 , - 1 = 0

5 66 x - 2 + 10 66 y + 1 - z + 2 = 0

Resposta

5 66 x - 2 + 10 66 y + 1 - z + 2 = 0

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