Exercícios Resolvidos de Plano tangente e Curva de Nível

Plano Tangente e Reta Normal, Funções de Várias Variáveis, Curvas Parametrizadas

Seja π o plano tangente ao gráfico de uma função f em um ponto x 0 , y 0 ,   f x 0 , y 0 . Seja γ t = 1 + 1 t , t   ,   t ≠ 0 uma parametrização para a curva de nível 1 de f e suponha que x 0 , y 0 = γ t 0 para algum t 0 . Determine uma equação para o plano π sabendo que ele contém os pontos 1,1 , 1 2     e   4,1 , 2 .

Passo 1

Muita coisa no enunciado, né? Vamos pegar o que interessa pra ficar mais fácil de montar alguma estratégia:

  • Temos uma função f x , y = z
  • Temos uma curva de nível 1 de f , γ t = 1 + 1 t , t  
  • x 0 , y 0 = γ t 0

E temos que encontrar um plano tangente a f x , y que passe pelos pontos 1,1 , 1 2     e   4,1 , 2 .

Parece pouco, mas vamos destrinchar cada detalhe e ver o que podemos fazer com isso!

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Bom, se essa curva γ t é curva de nível de f , então, obviamente, ela está contida em f . Tá, e daí? E daí que podemos escrever que, para todo ponto x 0 , y 0 e parâmetro correspondente t 0 ,

∇ f x 0 , y 0   . γ ' t 0 = 0

Sabe por que? Porque o vetor gradiente é perpendicular a superfície formada por f , e γ ' t representa um vetor tangente a curva γ t , que, por sua vez, está na superfície de f ! Então, como o vetor perpendicular à superfície é perpendicular a outro que seja tangente a ela, e o produto escalar entre vetores perpendiculares é 0 , a equação ali de cima sempre vale!

Passo 3

Então vamos calcular o tal γ ' t 0 :

γ t = 1 + 1 t , t  

γ ' t 0 = - 1 t 2 , 1

Simples, só derivar cada componente!

E jogando na equação do passo 1 ,

∇ f x 0 , y 0   . - 1 t 2 , 1 = 0

Passo 4

Resolvendo a equação

∇ f x 0 , y 0   . - 1 t 2 , 1 = 0

Não teremos uma resposta agradável, porque além de não sabemos quem é t 0 , ficaremos sem saber quem são f x e f y (as componentes do vetor gradiente).

Então, vamos usar um “truque”. Da mesma forma que o produto escalar entre vetores perpendiculares vale 0 , temos, para vetores colineares, que um é múltiplo do outro. Faz sentido né? Então, vamos rotacionar em 90 ° o vetor - 1 t 2 , 1 , e depois equacionar ele e o gradiente dizendo que são múltiplos um do outro.

- 1 t 2 , 1 + 90 ° = 1 , 1 t 0 2

O que fizemos foi trocar as coordenadas de lugar e multiplicar a segunda por - 1 . Se não lembra disse de Álgebra Linear, dá uma olhadinha rápida que é bem simples! Mas se não quiser fazer isso agora, apenas grave na cabeça: Para rotacionar um vetor em 90 ° , troca as coordenadas de lugar e multiplica a segunda por - 1 .

E agora, podemos dizer que esse novo vetor é múltiplo do vetor gradiente! Assim,

∇ f x 0 , y 0 = λ 1 , 1 t 0 2

Passo 5

Beleza, agora que temos essa última equação, podemos encontrar as derivadas parciais em função de λ e t 0 !

Veja só:

∇ f x 0 , y 0 = λ 1 , 1 t 0 2

f x , f y = λ , λ t 0 2

E temos, então,

f x = λ

f y = λ t 0 2

Passo 6

E agora, o que fazemos com essas derivadas parciais? Jogamos na equação do plano! Sim, temos as derivada parciais em função de duas incógnitas, λ e t 0 . Mas temos também dois pontos, dados pelo enunciado. Assim, teremos um sistema de duas equações e duas incógnitas! Dito isto, vamos à equação do plano:

δ f x 0 , y 0 δ x x - x 0 + δ f x 0 , y 0 δ y y - y 0 = z - z 0

Sendo que sabemos, pelo enunciado, que x 0 , y 0 = γ t 0 , e, sendo γ t = 1 + 1 t , t   , temos que x 0 = 1 + 1 t 0 e y 0 = t 0 . Além disso, como o nível da curva é 1 , ou seja, a curva tem altura constante igual a 1 , z 0 = 1 . Colocando essa informações na equação, e as derivadas parciais que encontramos, teremos:

λ x - 1 + 1 t 0 + λ t 0 2 y - t 0 = z - 1

Passo 7

Legal, agora só falta substituir os pontos e resolver o sistema! Tendo os pontos 1,1 , 1 2     e   4,1 , 2 , e colocando esses valores para x , y e z da equação do plano, teremos:

λ 1 - 1 + 1 t 0 + λ t 0 2 1 - t 0 = 1 2 - 1 λ 4 - 1 + 1 t 0 + λ t 0 2 1 - t 0 = 2 - 1

Se fizermos a de baixo menos a de cima, teremos:

4 λ - λ 1 + 1 t 0 + λ t 0 2 1 - t 0 - λ - λ 1 + 1 t 0 + λ t 0 2 1 - t 0 = 1 - - 1 2

3 λ = 3 2

λ = 1 2

Passo 8

Jogando esse valor de λ na primeira equação, teremos:

1 2 1 - 1 + 1 t 0 + 1 2 t 0 2 1 - t 0 = - 1 2

Multiplicando por 2 :

1 - 1 + 1 t 0 + 1 t 0 2 1 - t 0 = - 1

- 1 t 0 + 1 t 0 2 1 - t 0 = - 1

- 1 t 0 + 1 t 0 2 - t 0 t 0 2 = - 1

- 1 t 0 + 1 t 0 2 - 1 t 0 = - 1

- 1 t 0 2 = - 1

t 0 = 1

Finalmente!! Encontramos o valor de t 0 e de λ !

Passo 9

Colocando esses valores na equação do plano, teremos:

λ x - 1 + 1 t 0 + λ t 0 2 y - t 0 = z - 1

1 2 x - 2 + 1 2 y - 1 = z - 1

x + y - 2 z = 1

Resposta

A equação do plano é:   x + y - 2 z = 1

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