Exercícios Resolvidos de Plano tangente e Curva de Nível

Plano Tangente e Reta Normal

Seja f   : R 2 → R uma função diferenciável. Seja γ t = ( 2 t , t 2 , z t ) uma curva diferenciável tal que sua imagem está contida no gráfico de f . A equação da reta tangente a γ em γ ( 1 ) é x , y , z = 2,1 , - 2 + λ ( 1,1 , 4 ) com λ ∈ R . Determine A e B para que o plano de equação z = A x + B y - 3 seja o plano tangente ao gráfico de f em ( 2,1 , f 2,1 ) .

Passo 1

Essa é aquela típica questão que a gente não sabe muito bem por onde começar, de tanta informação. Mas já que o enunciado dá a equação da reta tangente em γ ( 1 ) , podemos dar uma olhada em γ ( 1 ) e ver no que dá:

γ 1 = ( 2,1 , z 1 )

E sabemos pelo enunciado que a imagem de γ está contida no gráfico de f . Logo:

z 1 = f ( 2,1 )

Ou seja:

γ 1 = ( 2,1 , f 2,1 )

Além disso, sabemos que a equação da reta tangente a γ em γ 1 é:

x , y , z = 2,1 , - 2 + λ ( 1,1 , 4 ) ; λ ∈ R .

Se essa é a reta tangente em γ ( 1 ) , então ela passa por γ ( 1 ) né?

γ 1 = 2,1 , f 2,1 = 2,1 - 2 + λ ( 1,1 , 4 )

Pra equação ser respeitada, devemos ter:

λ = 0

⇒ f 2,1 = - 2

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Passo 2

Agora que sabemos isso, podemos focar melhor na questão do problema: o plano z = A x + b y - 3 tangente ao gráfico de f em 2,1 , f 2,1 = 2,1 , - 2 .

Primeiro, pra ficar mais claro, podemos passar o z pra um lado e o 3 pro outro, aí o plano fica assim:

A x + B y - z = 3

A equação do plano tangente a uma superfície num ponto P 0 é:

n → ⋅ x , y , z = P 0 ⋅ n →

onde n → é o vetor normal à superfície em P 0 .

Nesse exercício, P 0 é o ponto ( 2,1 , - 2 ) que achamos no Passo 1 certo? Ou seja, as duas equações do sistema abaixo são equivalentes!

A x + B y - z = 3       n → ⋅ x , y , z = 2,1 , - 2 ⋅ n →

Observação: na segunda linha são produtos escalares!

Digamos n → = ( a , b , c ) . Assim:

a x + b y + c z = A x + B y - z

a = A   ; b = B   ; c = - 1

⇒ n → = ( A , B , - 1 )

Agora vamos dar uma olhada na lado direito do sistema:

2,1 , - 2 ⋅ n → = 3

2,1 , - 2 ⋅ A , B , - 1 = 3

2 A + B + 2 = 3

⇒ 2 A + B = 1

Beleza, achamos uma equação de primeiro grau relacionando A e B , só mais uma dessas e lacramos a questão!

Passo 3

Podemos lembrar que a equação da reta tangente a γ em γ ( 1 ) é x , y , z = 2,1 , - 2 + λ ( 1,1 , 4 ) .

Como I m a g e m γ ∈ G r á f i c o ( f ) , isso significa que o vetor diretor ( 1,1 , 4 ) dessa reta tangente é paralelo ao plano tangente ao gráfico de f nesse ponto. Esse plano, nós já sabemos que é:

A x + B y - z = 3

Mas peraí, se o vetor ( 1,1 , 4 ) é paralelo ao plano tangente, então ele é perpendicular ao vetor normal!

1,1 , 4 ⊥ ( A , B , - 1 )

Assim, pelas propriedades do produto escalar:

1,1 , 4 ⋅ A , B , - 1 = 0

A + B - 4 = 0

⇒ A + B = 4

Uhul! Achamos a segunda equação!

Passo 4

Agora é só resolver o sistema:

2 A + B = 1 A + B = 4

Subtraindo a segunda equação da primeiro, obtemos:

2 A + B - A - B = 1 - 4

⇒ A = - 3

Agora ficou fácil! Da segunda equação podemos tirar que:

A + B = 4  

- 3 + B = 4

⇒ B = 7

Resposta

A = - 3

B = 7    

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